Résumé : L’utilisation des algèbres de Leibniz à la place des algèbres de Lie en théorie de jauge est introduite de façon naturelle en supergravité. Les procédures de jaugeage dans ces théories diffèrent des théories de jauge classiques car l’algèbre de jauge est une sous-algèbre h de l’algèbre de Lie g des symétries globales du système. De plus les champs de jauge ne sont pas à valeur dans g mais dans sa représentation fondamentale. Une conséquence de ceci est que les courbures (field strengths) associées aux champs de jauge ne se transforment plus de manière covariante sous une transformation de jauge. Dans ce cas les physicien·nes introduisent des champs de jauge supérieurs (2-formes, 3-forms) et leurs courbures associées pour compenser ce manque de covariance. Cela conduit à une tour de p-formes prenant des valeurs dans les g-modules que les physiciens appellent une hiérarchie de tenseur (de Wit et al. 2008). Certaines tentatives ont été faites pour formuler cette construction de manière mathématique (Palmkvist 2013). Un point de vue prometteur consiste à généraliser légèrement la notion de module croisé différentiel V—>g en permettant à V d’être une algèbre de Leibniz au lieu d’une simple algèbre de Lie (Kotov & Strobl 2019, Lavau 2019). Sous certaines conditions naturelles de compatibilité, nous appelons ces objets des triplets de Lie-Leibniz. Nous proposons ensuite une construction des hiérarchies de tenseurs à partir de tels triplets, cette construction ayant des propriétés fonctorielles intéressantes lorsqu’on la restreint à la sous-catégorie des modules croisés différentiels. La présentation illustre comment des problèmes soulevés en physique théorique peuvent dévoiler des résultats insoupçonnés en mathématique.
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