Titre : Newton flows, Stochastic parallel translations, Q-Wiener processes and Dean-Kawasaki equations on the Wasserstein space

Title: Newton flows, stochastic parallel translations, Q-Wiener processes and Dean-Kawasaki equations on the Wasserstein space

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Composition du Jury :

Jaramillo, José-Luis Professeur, Université de Bourgogne, France Président
Wang, Fengyu Professeur, Université de Tianjin, Chine Rapporteur
Juillet, Nicolas Professeur, Université de Haute Alsace, France Rapporteur
Dong, Zhao Professeur, Academy of Mathematics and systems Sciences, CAS, Chine, Examinateur
Fang, Shizan Professeur, Université de Bourgogne, France Directeur de thèse
Li, Xiang-dong Professeur, Academy of Mathematics and systems Sciences, CAS, Chine Codirecteur de thèse

Résumé :

Nous allons introduire des flots de Newton sur l’espace de Wasserstein. L’existence et l’unicité de l’équation de Newton avec le problème de Cauchy sera établie. Nous allons éclaircir également les liens entre l’équation d’écoulement de Newton relâchée et l’équation de Keller-Segel.
Nous allons étendre lad éfinition de la connexion de Levi-Civita de Lott à l’espace de Wasserstein des mesures de probabilité ayant densité et divergence de tel sorte que les transports parallèles puissent être définis comme en géométrie différentielle. Nous allons démontrer l’existence des transports parallèles au sens fort de Lott pour le cas du tore.
Nous allons établir un formalisme intrinsèque pour le calcul stochastique d’Itô sur l’espace de Wasserstein à travers les trois fonctionnelles typiques. Nous allons construire la forme faible et la forme forte de l’équation différentielle partielle stochastique définissant le
transport parallèle, dont l’existence et l’unicité est démontrée dans le cas du tore. Des processus de diffusion non-dégénérée sont construits en utilisant les fonctions propres du laplacian.
Nous allons construire une nouvelle approche du système d’interaction de particules aux solutions du problème de martingale pour l’équation de Dean-Kawasaki sur le tore sous une condition plus faible portant sur l’intensité de corrélation spatiale.

Abstract:

We introduce Newton flows on the Wasserstein space and prove the well-posedness of Cauchy problem of the Newton flow equation. We show the connections between the relaxed Newton flow equation and the Keller-Segel equation.
We extend the definition of Lott’s Levi-Civita connection to the Wasserstein space of probability measures having density and divergence so that parallel translations for can be introduced as done in differential geometry. In the case of torus, we prove the wellposedness of Lott’s equation for parallel translations.
We establish an intrinsic formalism for Itô stochastic calculus on the Wasserstein space throughout three kinds of functionals. We construct the weak and strong form of stochastic partial differential equations for stochastic parallel translations, the well-posedness is also
proved in the case of torus. As a kind of non-degenerated diffusion process on Wasserstein spaces, Q-Wiener process is constructed using the eigenfunctions of the Laplacian.

We construct a new interactive particle model approximation to the solution to the regularized martingale problem of the diffusive Dean-Kawasaki equation on the onedimensional
torus under a weaker condition on the spatial correlation intensity of the noise
than the classical one.
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