Les coefficients de Littlewood-Richardson donnent la décomposition en sommes de représentations irréductibles du produit tensoriel de deux représentations de GL_n. L’ensemble des triplets de partitions dont le coefficient de Littlewood-Richardson est non nul forme un cône, appelé cône de Horn. Nous passerons en revue des propriétés de ce cône, notamment le fait qu’il est de type fini, saturé, et qu’on a une description très explicite des inéquations qui le définissent. Ce sera l’objet de la première partie de cet exposé.

Pour un triplet de partitions sur certaines faces de ce cône, le coefficient de LR est un produit de deux coefficients de LR, pour des groupes linéaires plus petits. Ceci résulte du fait qu’un morphisme en rapport avec la situation géométrique liée à cette face est birationnel. Pour d’autres faces, le morphisme en question devient seulement génériquement fini, et pour obtenir des formules récursives sur les coefficients de LR, il est nécessaire d’étudier le diviseur de branchement. C’est ce que nous faisons dans un travail en commun avec Ressayre, et ce sera l’objet de la deuxième partie de mon exposé, valable pour d’autres groupes que GL_n et même plus généralement pour le pléthysme correspondant à une inclusion de groupes algébriques réductifs.
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