Depuis les travaux d’Huber (1959), Margulis (1969) et Sarnak (1982), on sait que le nombre de géodésiques fermées primitives d’une surface hyperbolique compacte, croit, lorsque leur longueur tend vers l’infini comme exp(t)/t. En 1973, Bowen étudie la répartition spatiale des géodésiques primitives fermées sur les variétés hyperboliques compactes. Il obtient une formule d’équidistribution des orbites périodiques du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent de la variété vers la mesure de Liouville.

On se place dans un espace symétrique de rang supérieur, compact. Au lieu d’étudier le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent des variétés hyperboliques, on étudie l’action par multiplication à droite du sous-groupe de Cartan sur l’espace des chambres de Weyl. Au lieu d’y dénombrer les orbites périodiques du flot géodésique, on y dénombre les orbites compactes de l’action du sous-groupe de Cartan : les tores plats périodiques. Spatzier dans sa thèse (1983) a prouvé que le nombre de tores plats périodiques croît exponentiellement vite lorsque la systole tend vers l’infini. Je vais parler d’un travail en collaboration avec Jialun Li (Zürich), où nous obtenons une formule d’équidistribution de ces tores plats périodiques vers une mesure quotient de la mesure de Haar.
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