L’étude des équations de la chaleur, des ondes, de Poisson entraîne l’émergence, dans la première moitié du 20ième siècle, des opérateurs à noyaux et des opérateurs différentiels. Ces équations sont usuellement de la forme :Pu=f,Où P est un opérateur différentiel, f est donnée, et u est la solution (distributionnelle) cherchée. Durant les années 50, « elliptique » et « hypoelliptique » sont deux adjectifs apparaissant dans la littérature pour décrire les propriétés de P et a fortiori de la potentielle solution u. La recherche de paramétrices – « inverses » des opérateurs elliptiques – est un exemple qui a motivé Hörmander, Kohn, Nirenberg à introduire dans les années 60 une nouvelle famille d’opérateurs : les opérateurs pseudodifférentiels classiques et leurs symboles associés. Toutefois, la manipulation de ces symboles classiques peut se révéler complexe en pratique, notamment dans le contexte des variétés. Ainsi, dans un premier temps, nous énoncerons un théorème visant à simplifier leur définition. En effet, nous avons montré que tout tel symbole est la restriction en t=1 d’une fonction homogène modulo Schwartz, vue dans une dimension supérieure.Dans les années 80, Connes est le pionner d’une nouvelle branche des mathématiques : La Géométrie Non Commutative. Le groupoïde tangent, pur produit de la GNC, se veut fondamental dans l’interprétation qu’ont van Erp-Yuncken (vEY) des opérateurs pseudodifférentiels. Inspirés par les travaux de 2014 d’une part de Debord-Skandalis et d’autre part de Manchon-Lescure-Vassout, vEY fondent en 2017 le calcul pseudodifférentiel groupoïdal. Ils proposent une définition d’opérateur pseudodifférentiel classique sur une variété s’affranchissant de la notion de carte locale et retrouvent les propriétés habituelles du calcul pseudodifférentiel d’Hörmander. Après avoir présenté les grandes idées de vEY, nous évoquerons dans un second temps, un théorème qui réconcilie le calcul pseudodifférentiel de Beals et Greiner sur les variétés d’Heisenberg (1983) et le calcul de vEY.

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