La dualité $x$-$y$, depuis sa découverte comme une symétrie de la récurrence topologique de Eynard-Orantin, a été l’objet principal d’investigations dans des domaines divers (systèmes intégrables, théorie des cordes, géométrie algébrique et d’autres…). Dans l’étude des espaces de modules des connections méromorphes (espaces de modules de De Rham), la structure symplectique obtenue à travers les deformations isomonodromiques est une invariante de cette symétrie, cela est en contact direct avec le problème de classification de ces espaces de modules. En introduisant les ingredients nécessaires, nous verrons sur un exemple comment cette symétrie relie les structures symplectiques de 2 connections définies sur des fibres de rangs différents. Nous verrons aussi les applications potentielles et les problèmes ouverts du sujet. 
The $x$-$y$ duality, since its discovery as a symmetry of the Eynard-Orantin topological recursion, has been the subject of intensive investigations In various fields (integrable systems, string theory, algebraic geometry to name a few). In the study of moduli spaces of meromorphic connections (De Rham moduli spaces), this symmetry leaves invariant the symplectic structure defined through the isomonodromic deformations, and relates to the more general classification problem of these moduli spaces. By introducing the necessary ingredients, we shall see on an example how this symmetry relates the symplectic structures of two connections defined on different rank bundles while discussing the possible applications and the open problems. 

https://indico.math.cnrs.fr/event/12663/