Soit M une 4-variété asphérique, c’est à dire que son revêtementuniversel est contractile. Une conjecture de Singer implique que, pourune telle M, la signature est bornée par la caractéristique d’Euler. Jeparlerai de cette inégalité pour les 4-variétés qui admettent unedécomposition géométrique à la Hillman, un analogue 4-dimensionnel de ladécomposition de Jaco-Shalen-Johnson en dimension 3. Je discuterai ainsiquelques exemples qui sortent de cette exploration. Il s’agit d’unecollaboration avec Luca F. Di Cerbo.

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