On considère un processus de Markov X (temps discret ou continu), évoluant dans un espace E et « tué » à un certain taux dépendant de sa position. Lorsqu’il est « tué », le processus est envoyé dans un point cimetière n’appartenant pas à E et n’en bouge plus. De fait, le seul état stationnaire et l’état limite du processus X est le point cimetière, c’est qui n’est pas intéressant. On préfère alors regarder les trajectoires typiques de X conditionnellement à sa survie jusqu’à un certain temps t. Ces dernières années, Nicolas Champagnat et Denis Villemonais ont développé des critères qui permettent de prouver la convergence des lois conditionnelles de X vers une unique distribution quasi-stationnaire. Leurs critères impliquent en particulier que cette convergence se faire en variation totale, ce qui n’est pas possible dans certains exemples très simples. L’objectif de cet exposé est de présenter quelques critères pour des convergence en distance de Wasserstein des lois conditionnelles, que nous avons obtenus avec Nicolas Champagnat et Denis Villemonais.

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