Le théorème de Picard en analyse complexe implique qu’une fonction entière non-constante omet au plus un point. Dit autrement toute application holomorphe du plan complexe à valeur dans la sphère de Riemann privée de 3 points est constante.Une vaste généralisation de ce résultat est donnée par la théorie de Nevanlinna, qui permet  d’étudier de façon plus quantitative, grâce à deux inégalités fondamentales, le comportement asymptotique des applications du plan complexe à valeur dans la sphère de Riemann.Ces questions se généralisent très largement en dimensions supérieures, où elles donnent lieu à des conjectures encore très largement ouvertes. Le but étant alors d’étudier les applications holomorphes du plan complexe à valeur dans une variété complexe.Dans cet exposé nous commencerons par expliquer cette thématique de recherche ainsi que les principales conjectures qui guident les recherche dans ce domaine. Puis, nous  expliquerons ce qui est connu quand la variété supporte une variation de structure de Hodge, et en particulier comment obtenir une inégalité de type Nevanlinna dans ce cas.  Ceci est un travail en commun avec Yohan Brunebarbe.

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