Deux groupes finiment engendrés sont dits quasi-isométriques s’il existe une application de l’un vers l’autre qui est quasiment une isométrie et quasiment surjective. L’un des pans de la géométrie des groupes consiste à étudier les groupes à quasi-isométrie près. Dans l’exposé on considèrera la classe des groupes finiment engendrés agissant sur un arbre avec des stabilisateurs infinis cycliques (par ex. les groupes de Baumslag-Solitar). Dans le cas virtuellement résoluble, ces groupes sont très rigides du point de vue quasi-isométrie (Farb-Mosher). Dans le cas non virtuellement résoluble, c’est l’inverse: ces groupes sont tous quasi-isométriques les uns aux autres (Whyte). On considèrera la seconde classe, et l’on verra que si l’on renforce la relation de quasi-isométrie, alors ces groupes ne sont plus tous équivalents. Travail en commun avec Yves Cornulier. 

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