Un billard mathématique planaire est un domaine dans le plan borné par une courbe lisse. Les droites qui l’intersectent, sont réfléchies du bord selon la loi de réflexion classique : l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion. Une caustique d’un billard planaire est une courbe dont toute droite tangente est réfléchie sur une autre droite tangente. La célèbre conjecture de Birkhoff concerne les billards planaires convexes bornés intégrables au sens de Birkhoff : c’est-à-dire, admettant un feuilletage en caustiques fermées près de la frontière, du côté intérieur. Elle affirme, que les seuls billards intégrables au sens de Birkhoff sont les ellipses.

Sergei Tabachnikov a suggéré une généralisation de la conjecture de Birkhoff à des billards projectifs, qui implique aussi ses versions sur les surfaces à courbure constante non nulle : sphère et plan hyperbolique. Elle est formulée en termes duaux. Notamment, considérons une courbe C planaire convexe fermée dont un voisinage du côté extérieur est muni d’un feuilletage en courbes fermées (dont la courbe C est une feuille). Pour toute droite L tangente à la courbe C en un point P, considérons le germe d’involution de la droite L en P permutant ses deux points d’intersection avec chaque feuille individuelle. Supposons que cette dernière involution est une transformation projective de la droite L pour tout point P.

La conjecture de Tabachnikov affirme qu’alors la courbe C est une ellipse, et les feuilles du feuilletage forment un pinceau de coniques.

Dans l’exposé, nous en démontrerons la version rationnelle : sous l’hypothèse supplémentaire que le feuilletage en question admet une intégrale première rationnelle.

Nous démontrerons un résultat analogue dans le cas où la courbe C est un germe de courbe réelle ou complexe et on a un germe de feuilletage comme ci-dessus, ayant une intégrale première rationnelle. Dans ce cas général, la courbe C s’avère être toujours une conique. Mais les feuilles du feuilletage peuvent être des courbes algébriques de degré supérieur. Nous présenterons la classification complète de ces feuilletages à transformation projective près.
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