Les motifs sont « la cohomologie universelle des variétés algébriques ». Leur existence est encore largement conjecturale.Sur un sous-corps de $mathbb{C}$, toute cohomologie (de Weil) se factorise par la cohomologie singulière. Pourtant celle-ci n’a pas a priori toute la structure dont on peut munir la cohomologie de de Rham (filtration de Hodge) ou la cohomologie l-adique (action du groupe de Galois). La structure universelle dont est munie la cohomologie singulière est celle de l’action d’un groupe algébrique : le groupe de Galois motivique. Les motifs de Nori sont alors les représentations de ce groupe et la cohomologie singulière d’une variété algébrique est naturellement un motif de Nori.On veut faire varier cette construction « en famille » par exemple pour comparer entre eux les motifs des fibres d’un morphisme. Le bon cadre pour cela est le formalisme des six foncteurs. Ivorra et Morel ont construit des catégorie de motifs de Nori pervers munies du formalisme des six foncteurs mais seulement à coefficients rationnels. Leur construction utilise les motifs de Voevodsky qui correspondent conjecturalement à la catégorie dérivée des motifs.Le but d’un travail en cours avec S. Tubach est de construire une théorie similaire à coefficients entiers en recollant la situation à coefficients rationnels et la théorie bien comprise des motifs étales de torsion.

https://indico.math.cnrs.fr/event/11236/