Issues de la rigidité de Mostow, les quasiisométries sont au départ une manifestation à grande échelle des équivalences d’homotopie entre variétés compactes. Elles font aussi sens, notamment, entre les groupes de Lie connexes, que ceux-ci possèdent des réseaux ou non.

Dans un premier temps, j’exposerai l’état de nos connaissances sur les quasiisométries des groupes de Lie connexes qui sont hyperboliques au sens de Gromov. On étudie traditionnellement ces quasiisométries à la suite de Pansu, Kleiner, Xie, Le Donne et Carrasco Piaggio, à l’aide de la géométrie quasiconforme des sphères à l’infini de ces groupes.

Dans une seconde partie, j’exposerai mes travaux concernant une relation plus faible que la quasiisométrie, l’équivalence sous-linéairement bilipschitzienne, introduite par Cornulier. Je donnerai plusieurs caractérisations des groupes de Lie connexes équivalents pour cette nouvelle relation à l’espace hyperbolique réel ou au plan hyperbolique complexe. Ces caractérisations font apparaître des familles de groupes dits focaux de type connexe dont la géométrie à grande échelle est proche de celle de l’espace hyperbolique réel, bien qu’ils ne lui soient pas quasiisométriques.
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