Résumé : (avec Ramón Flores, U. Séville) On introduit une nouvelle procédure pour calculer la fonction de croissance des monoïdes d’Artin-Tits du type sphérique (donc des groupes des tresses) par rapport aux générateurs standards, comme l’inverse du déterminant d’une matrice très simple.
En utilisant ces outils, on montre que le taux de croissance exponentielle du monoïde des tresses positives A_n tends vers 3,23363… quand n tends vers l’infini. Ce nombre est bien connu, car il est le taux de croissance des coefficients de la seule solution x_0(y)= −(1+y+2y^2+4y^3+9y^4+…) de la fonction thêta partielle classique Σ y^{k(k-1)/2} x^k.
On décrit aussi la suite 1,1,2,4,9,… formée par les coefficients de -x_0(y), en montrant que son k-ième terme (le coefficient de y_k) est égal au nombre des tresses de longueur k, dans le monoïde des tresses positives A_∞ avec un nombre infini de brins, dont leur représentant maximal lexicographique commence avec le premier générateur a_1. Ceci devient un lien inattendu entre la fonction thêta partielle et la théorie des tresses.

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