D’après un célèbre résultat de Nash et Tognoli, toute variété différentiable compacte est difféomorphe au lieu réel d’une variété algébrique réelle projective. Une version équivariante naturelle consiste à se demander si toute variété différentiable compacte munie d’une action différentiable d’un groupe de Lie compact admet un modèle algébrique, sous la forme d’une variété algébrique réelle munie d’une action algébrique d’un groupe algébrique réel, dont la restriction aux lieux réels est équivariamment difféomorphe à l’action fixée au départ. En cas d’existence, plusieurs questions plus fines se posent alors, par exemple l’existence ou non de modèles algébriques rationnels et, le cas échéant de leur classification à difféomorphismes birationnels équivariants près. Le but de cet exposé est de donner quelques idées et pistes de constructions pour le cas des variétés munies d’actions différentiables du cercle. Selon le temps disponible, on verra en particulier comment obtenir une réponse complete pour le cas des surfaces.
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