Speakers: Filippo Santambrogio (ICJ, Université Lyon 1)

Je donnerai une présentation d’une question très classique et générale : comment approcher une distribution de probabilité donnée, a priori une densité, par un nombre fini de points ? Deux cas de figure se posent : l’approximation par une mesure atomique supportée sur un ensemble de N points (avec poids arbitraires) ou celle par une mesure empirique (avec poids égaux à 1/N). Cela correspond au pavage de l’espace par des cellules convexes, appelées cellules de Voronoï ou de Laguerre selon le cas. Il s’agit de problèmes d’optimisation, aux applications multiples, qui ne sont malheureusement pas convexes. Je présenterai des exemples de bons et de mauvais points critiques, ainsi que des résultats asymptotiques lorsque Nto infty. Ensuite, je parlerai d’un travail en cours avec A. Figalli et Q. Mérigot à propos des minima locaux : tout en sachant que des très mauvais points critiques existent, dans quels cas peut-on prouver que ceux qui sont stables produisent en fait une meilleure approximation de la densité cible ? La preuve (qu’on ne sait faire qu’en dimension deux) repose sur une analyse très géométriques de la partition en cellules convexes. 

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