Un groupe G est un ensemble fini ou infini d'éléments avec une opération binaire qui vérifie quatre propriétés fondamentales. Le premier développement formel de la théorie des groupes, centré autour d'idées dues à Galois et datant du 19ème siècle, concernaient les groupes finis. La notion d'un groupe abstrait infini est clairement due à Cayley.
Cependant, l'importance et la profondeur de son axiomatisation ne furent pas immédiatement perçues. La théorie des groupes connut un essor très important au milieu du 20ème siècle poussé en particulier par la reconnaissance du rôle des groupes en géométrie et en topologie, notamment à travers des notions telles que les actions de groupes.

Les actions de groupes sont très importantes non seulement dans la théorie elle-même mais aussi dans ses applications : c'est le passage entre le groupe abstrait et le groupe concret, celui qui est donné par des transformations (isomorphismes linéaires, homéomorphismes, etc.).

Ce principe sera l'idée centrale des cours orientés « recherche » du M2. Le cours du premier semestre, intitulé « Compléments sur les groupes et les variétés », fera le lien entre la notion de groupe abstrait (groupe libre, présentation abstraite de groupe) et la notion d'action (topologique) de groupe. Ensuite, dans le second semestre, nous déclinerons cette idée à travers deux théories : les actions des groupes sur la droite et le cercle, d’une part, et les groupes de tresses, d’autre part.

Pour suivre ces cours sont requis des connaissances de base sur les groupes (le cours d’algèbre de licence suffit) et un peu de topologie. Les enseignants adapteront le programme au public présent en privilégiant le souhait des étudiants.

La notion de groupe va de pair avec la notion d'action de groupe et c'est à travers ce concept que l'on relie les groupes à toute sorte d'objets dont les espaces topologiques et, en particulier, les variétés.

Le but de ce cours est de donner certaines bases importantes sur les groupes, les variétés, et leurs interactions. C’est un bon complément au programme d’algèbre de l’agrégation sur les groupes et leurs actions. Il est divisé en 5 parties :

1. Combinatoire des groupes
2. Structures géométriques sur les variétés
3. Groupes fondamentaux des espaces topologiques
4. Actions propres de groupes discrets et revêtements
5. Applications aux structures géométriques

* Massey, William S. Algebraic topology: an introduction. Reprint of the 1967 edition. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

* Massey, William S. A basic course in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 127. Springer-Verlag, New York, 1991.

* Spanier, Edwin H. Algebraic topology. Corrected reprint. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.

Le cours présente un panorama de résultats élémentaires qui relient la structure algébrique d'un groupe et ses actions possibles sur la droite ou le cercle. Voici une liste de résultats qui donnent l'esprit de ce cours. On ne proposera sans doute pas tous ces résultats dans le temps imparti, et on en proposera sans doute qui ne sont pas dans la liste. Un article fondateur  de Etienne Ghys ainsi qu’excellent livre de Andres Navas pourront servir de support au cours, et permettront des explorations plus approfondies a ceux qui le désirent.

1) Les homéomorphismes du cercle ; théorie de Poincaré: nombre de rotation, semi conjugaison à une rotation si ce nombre est  irrationnel. Relation avec les homéomorphismes commutants de la droite réelle.

2) Théorie de Denjoy pour les difféomorphismes du cercle: conjugaison a la rotation si le difféomorphisme est de classe C², contre exemple si le difféomorphisme est de classe C¹.

3) Théorème d'Hölder pour les actions libres d'un groupe sur la droite réelle. Caractérisation des actions conjuguées à un sous-groupe du groupe affine.

4) Centralisateur d'une contraction de R : théorèmes de Szekeres et de Kopell. Invariant de Mather des difféomorphismes de l'intervalle [0,1], sans points fixes dans ]0,1[.

5) Espace des orbites d'un groupe de difféomorphismes analytiques de la droite.

6) Actions des groupes nilpotents sur la droite et le cercle: Exemples d'action continue. On montrera que toute action d'un groupe nilpotnent par des difféomorphismes de classe C² est abélienne.  Exemple d'action de groupes résolubles.

7) Exemples d'action analytique avec un" minimal exceptionnel". Théorème de Schwarz-Sachsteder.

8) Argument  du Ping-pong pour montrer qu'un groupe de Schottky est un groupe libre.

La notion de tresse, vu comme objet « entrelacé » remonte à plusieurs siècles et a été universellement utilisée à des fins décoratives ou même pratiques, par exemple dans la confection des cordes. Maintenant, cette notion est décrite à l’aide de modèles abstraits connus sous le nom de «théorie des tresses ». La théorie des tresses étudie le concept de tresses (telles qu’on les imagine) ainsi que différentes généralisations issues de différentes branches des mathématiques. L’idée est que les tresses forment un groupe. Le nombre de brins (ou cordes) doit être fixé pour que l’opération soit bien définie. Ainsi nous avons un groupe de tresses à deux brins, un groupe de tresses à trois brins, etc. Le groupe de tresses à un brin est trivial car une corde ne peut pas être tressée (bien qu’elle puisse être nouée).

On fait généralement remonter l’étude mathématique des tresses à un article d’Emile Artin datant de 1925 dans lequel est décrite la notion de tresse sous différents aspects, l’un étant celui évident, comme une «série de cordes tendues et entrelacées », et d’autres, plus conceptuels mais tout aussi profonds, tels qu’une présentation par générateurs et relations, ou une présentation comme groupe de difféotopies d’un disque pointé.

Le but de ce cours est de présenter ces différents aspects classiques de ces groupes ainsi que certains plus récents tels que les liens avec la théorie des nœuds ou l’algorithmique.

Il sera divisé en 6 parties :

1. Tresses (définition et présentation par générateurs et relations).
2. Espaces de configurations
3. Groupes de difféotopies (ou mapping class groups)
4. Groupe d’automorphismes des groupes libres.
5. Algorithmique sur les tresses
6. Tresses et nœuds

* Hansen, Vagn Lundsgaard. Braids and coverings: selected topics. With appendices by Lars Gæde and Hugh R. Morton. London Mathematical Society Student Texts, 18. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

* Murasugi, Kunio; Kurpita, Bohdan I. A study of braids. Mathematics and its Applications, 484. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.

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