Le théorème de Navas montre que toute action d'un groupe sur la droite est semi-conjuguée a une action Lipschitz. La preuve utilise un peu de théorie ergodique et demandera donc un certain investissement et de la curiosité.

*Un théorème de Duminy

Preuve par E. Ghys d'un théorème de Duminy sur les actions de classe C² engendrées  par des difféomorphismes proches de l'identité.

Références :

Navas, A. Sur les groupes de difféomorphismes du cercle engendrés par des éléments proches des rotations. Enseign. Math. (2)  50  (2004),  no. 1-2, 29--68.
Ghys, Étienne Sur les groupes engendrés par des difféomorphismes proches de l'identité. Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 24 (1993), no. 2, 137--178.

*Actions de groupes abéliens sur les sufaces compactes

Le théorème de Lima sur les champs de vecteurs commutants. Généralisation aux difféomorphismes commutants proches de l'identité par Bonatti.

Références :

Lima, E.. Commuting vector fields on S2.  Proc. Amer. Math. Soc.  15  1964 138--141
Lima, E. Commuting vector fields on 2-manifolds.  Bull. Amer. Math. Soc.  69 1963 366--368.
Bonatti, C. Un point fixe commun pour des difféomorphismes commutants de S2. Ann. of Math. (2) 129 (1989), no. 1, 61--69.
Bonatti, C Difféomorphismes commutants des surfaces et stabilité des fibrations en tores Topology 29 (1989) 101--26

*Théorème de translation de Brouwer 

La preuve de ce théorème est restée mystérieuse et peu compréhensible jusque dans les années 80. Il y a désormais des preuves accessibles et exposables de ce fameux théorème, en particulier celle de Le Calvez et Sauzet.

Références :

Le Calvez, P.; Sauzet, A. Une démonstration dynamique du théorème de translation de Brouwer. Exposition. Math. 14 (1996), no. 3, 277--287.

* Représentations linéaires des groupes de tresses

Un des problèmes les plus en vogue sur les groupes de tresses a été de déterminer si ceux-ci sont linéaires, c’est-à-dire s’il se plongent dans un groupe linéaire. Ce problème a été résolu récemment par Bigelow [Big] et Krammer [Kra]. Leur construction a été étendue aux groupes d’Artin de type sphérique par Digne [Dig], Cohen et Wales [CoWa], puis à tous les autres groupes d’Artin par Paris [Par]. Le but de ce travail est decomprendre les constructions algébriques et topologiques de cette représentation linéaire ainsi que la démonstration de Hée [Hée] de sa fidélité

Références :

-[Big] Bigelow, Stephen J. Braid groups are linear.  J. Amer. Math. Soc. 14  (2001),  no. 2, 471-486.
-[CoWa] Cohen, Arjeh M.; Wales, David B. Linearity of Artin groups of finite type.  Israel J. Math.  131  (2002), 101-123.
-[Dig] Digne, François. On the linearity of Artin braid groups. J. Algebra 268 (2003), no. 1, 39-57.
-[Hee] Hée, J ;-Y. Sur la fidélité de la représentation de Krammer-Paris. Prépublication, 2007.
-[Kra] Krammer, Daan Braid groups are linear.  Ann. of Math. (2)  155 (2002),  no. 1, 131-156.
-[Par] Paris, Luis. Artin monoids inject in their groups.  Comment. Math. Helv.  77  (2002),  no. 3, 609-637.

* Complexe de Salvetti et groupes de tresses

Il s’agit de comprendre la construction du complexe de Salvetti [Sal] et son utilisation pour calculer la présentation du groupe de tresses, son type d’homotopie et sa cohomologie.

Références :

- [Sal] Salvetti, M. Topology of the complement of real hyperplanes in CN.  Invent. Math.  88  (1987),  no. 3, 603-618.

* Polynôme de HOMFLY

Le polynôme de HOMFLY est un invariant des nœuds et des entrelacs essentiellement du à Jones [Jon]. Le but de ce travail est de comprendre sa construction à travers la théorie des tresses fermées.

Références :

- [Jon] Jones, V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials.  Ann. of Math. (2)  126  (1987),  no. 2, 335-388

 

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