Gioia M. VAGO
Gioia M. VAGO -
Variétés instables d'ensembles hyperboliques
Thèse de Doctorat de l'Université de Bourgogne
(1998)
Illustration de Charles Cordier
Résumé - On cherche à comprendre
quelle est l'information dynamique
portée par la topologie de l'une des variétés invariantes associées
à un difféomorphisme hyperbolique.
Bonatti et Langevin ont prouvé
que deux dynamiques hyperboliques de surfaces compactes sont conjuguées
(à itération près) sur un voisinage de l'ensemble hyperbolique
si et seulement si les unions respectives de
leurs variétés invariantes
(stable et instable) sont homéomorphes.
Watkins a donné une classification topologique des variétés
instables des k-fers à cheval.
Cette classification permet d'exhiber
des variétés instables homéomorphes issues de dynamiques
non-conjuguées.
Ici,
dans le cadre général des difféomorphismes hyperboliques,
on donne d'abord une réduction
du problème de conjugaison des
variétés instables
à un problème combinatoire.
On se restreint ensuite aux systèmes admettant une partition
à un rectangle.
On trouve une caractérisation
complète des variétés instables de
tels systèmes aussi bien à homéomorphisme près qu'à conjugaison
près.
Si la variété instable n'est pas ``trop symétrique''
(exemples de Watkins),
les défauts de symétrie permettent de reconstituer de façon unique la
dynamique sous-jacente.
De plus, le lien
entre dynamique
et topologie possède une interprétation algébrique : on donne un
algorithme d'utilisation immédiate
qui décide si deux variétés instables sont conjuguées
et/ou homéomorphes.
Abstract - We are interested
in understanding what is the dynamical information carried
by the topology of one of the invariant manifolds yielded by a hyperbolic
diffeomorphism.
Bonatti and Langevin proved
that two hyperbolic dynamics on compact surfaces are conjugate (up~to
iteration) on a neighborhood of a hyperbolic set if and only if the
unions of the respective invariant manifolds are homeomorphic.
Watkins gave a topological classification of the
unstable manifolds of the k-horseshoes.
His characterization yields examples
of homeomorphic unstable manifolds whose underlying dynamics
cannot be conjugate.
Here, in the general context of hyperbolic diffeomorphisms, we
first give a reduction of the problem
of the conjugacy of the unstable manifolds to a combinatorial problem.
Next,
we focus on one-rectangle systems.
The unstable manifolds yielded
by such systems are
completely classified up to homeomorphism and up to conjugacy.
If the unstable manifolds are not ``too symmetric''
(Watkins's examples), the symmetry defaults let us reconstruct the
underlying dynamics in a unique way.
Moreover, the linking between dynamics and topology has an algebraic
interpretation: we furnish
a very easy-to-compute algorithm to check whether the unstable manifolds
of two given one-rectangle systems are conjugate and/or homeomorphic.
AMS subject classification:
54H20 Topological dynamics;
58F15 Hyperbolic structures;
54F15 Continua and generalizations.
Keywords:
hyperbolic,
unstable manifold, continua, lamination,
substitution, classification.
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