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26 octobre 2017: 1 événement

  • Séminaires GSD

    Jeudi 26 octobre 10:30-11:30 - Michaël Mignard - IMB

    Séminaire GSD, "Les catégories modulaires ne sont pas distinguées par leur données modulaires"

    Résumé : Une catégorie de fusion est une catégorie tensorielle avec dualité, semi-simple de rang fini, et telle que les espaces d’endomorphismes des simples sont de dimension 1.
    Les deux dernières propriétés peuvent être vues comme des analogues, au niveau catégorique, du théorème de Mascke et du lemme de Schur. Le premier exemple d’une catégorie de fusion est donc naturellement celui des représentations linéaires d’un groupe fini. Si la structure tensorielle (ou monoidale) décrit l’associativité du produit tensoriel, il n’est pas nécessaire que le produit tensoriel soit commutatif. Les catégories tensorielles qui admettent une telle commutativité, en un sens à préciser, sont appelées tressées. Une catégorie modulaire est une catégorie de fusion tressée, plus une structure tensorielle sur le foncteur bidual (appelée structure enrubannée), avec une condition de non-dégénéréscence. Plus précisément, la S-matrice est la matrice carrée (de dimension le rang de la catégorie) formée des traces des doubles tressages pour chaque couple d’objets simples ; une vision plus topologique de ces coefficients consisterait à dire qu’ils sont des invariants d’entrelacs de Hopf colorés par les couples de simples. La S-matrice et T-matrice, qui consiste en la matrice diagonale de la structure enrubannée, sont appelées les données modulaires de la catégorie. Les données modulaires sont naturellement un invariant de la catégorie ; elles "représentent" aussi les liens forts de ces catégories avec d’autres objects des mathématiques ou des mathématiques-physique (TQFT). Une question naturelle est donc de savoir si ces données modulaires sont un invariant complet pour les catégories modulaires. Cette question est restée ouverte jusqu’à ce qu’un contre-exemple soit trouvé par votre serviteur (et son directeur de thèse). En vérité, nous avons prouvé qu’un nombre arbitrairement grand de catégories modulaires non-equivalentes peuvent partager les mêmes données modulaires. Le but de cet exposé sera a minima d’introduire la question et le résultat, et si possible de donner un idée de la preuve.

    Lieu : Salle 318

    En savoir plus : Séminaires GSD