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Séminaire GSD, "Produit aléatoire de matrices"

Jeudi 31 mai 10:30-11:30 - Victor Kleptsyn - Rennes & CNRS

Séminaire GSD, "Produit aléatoire de matrices"

Résumé : Je parlerai sur les résultats d’un travail en commun avec Anton Gorodetski.
Il est bien connu (et c’est le cas le plus simple de théorème fameux de Furstenberg) que si on considère un produit aléatoire
Bn=An … A2 A1
de matrices i.i.d. Aj dans SL(2,R), le norme de ce produit est de croissance exponentielle, sous des hypothèses très faible sur la loi de matrices Ai.
Mais que se passe-t-il si on multiplie des matrices dépendantes d’un paramètre Ai(s), en obtenant un produit Bn(s) qui en dépend aussi ?
Pour chaque valeur individuel de s, le théorème de Furstenberg est toujours applicable. Mais il se trouve que sous certains hypothèses sur le loi de Ai(s), presque surement il existe un ensemble (aléatoire) X de paramètres, tel que pour chaque s dans cet ensemble on a liminf 1/n log |Bn(s)| =0.
Tout ça donne un point de vue géométrique sur la localisation d’Anderson en dimension un.
C’est-à-dire : considérons un opérateur
H Ψ = Δ Ψ + U(n) Ψ(n),
agissant sur l2(Z), où Δ est un Laplacien discret et les valeurs U(n) sont aléatoires, i.i.d. et non-constants. Il est connu que cet opérateur presque surement a un spectre purement ponctuel (sous des hypothèses très faibles sur le loi de U). En approchant cette question par des produits de matrices, nous obtenons une manière très naturelle dynamique de penser de (et de re-démontrer) ces résultats.

Lieu : Salle 318

Pour en savoir plus sur cet événement, consultez l'article Séminaires GSD