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Séminaire Math-Physique : Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type semi-hyperbolique

Mercredi 25 octobre 16:15-17:15 - Michel Rouleux - Université de Toulon

Séminaire Math-Physique : Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type semi-hyperbolique

Résumé : On étudie les résonances pour un Opérateur $h$-Pseudo-différentiel $H(x,hD_x)$ sur $L^2(M)$ induites par une orbite périodique $\gamma_0$ de type hyperbolique (ou semi-hyperbolique) à l’énergie $E=0$. Par exemple $M=\bf R^n$ et $H(x,hD_x ;h)$ est l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ou $H(x,hD_x ;h)$ est le flot géodesique sur une variété axi-symétrique $M$, généralisant l’exemple de Poincaré de systèmes lagrangiens à 2 degrés de liberté. On suppose que les exposants de Floquet de $\gamma_0$ (valeurs propres de l’application de Poincaré) vérifient une condition de non-resonance. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise des exposants de Floquet elliptiques, et où on considère des résonances (dites semi-excitées) dont la partie imaginaire est de l’ordre de $h^s$, pour $0<s<1$. On établit ainsi une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluant l’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder. S’il existe effectivement des exposants de Floquet elliptiques, on conjecture enfin une formule de trace près de $E=0$ prenant en compte les orbites périodiques au voisinage de la variété centre de $\gamma_0$ (et de période proche d’un multiple de celle de $\gamma_0$) données par le Théorème de Birkhoff-Lewis.
L’essentiel de ces résultats ont été obtenus dans la Thèse de mon étudiante Hanen LOUATI.

Lieu : Salle A318

Pour en savoir plus sur cet événement, consultez l'article Séminaires Math-Physique