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Rigidité des lois de conservation pour l’équation de Schrödinger non linéaire

Jeudi 4 mai 16:30-17:30 - Nikolay Tzvetkov - Université Cergy-Pontoise

Rigidité des lois de conservation pour l’équation de Schrödinger non linéaire

Résumé : L’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (NLS) est un exemple important d’un système Hamiltonien de dimension infinie. Elle a été beaucoup étudiée dans les 50 dernières années. Il s’est avéré qu’un nombre important de domaines mathématiques se sont montrés utiles dans l’analyse de ses solutions : l’analyse de Fourier (en particulier la méthode du cercle de la théorie des nombres), l’analyse complexe (en particulier la théorie des surfaces de Riemann), la théorie spectrale directe et inverse, la théorie des probabilités, le calcul des variations, les systèmes dynamiques ... Il est impossible dans un exposé d’une heure de donner un aperçu sur l’ensemble de ces développements.
Nous allons donc plus tôt donner une introduction élémentaire à un résultat recent en collaboration avec Benoit Pausader (Université de Brown, USA) mettant en evidence une propriété surprenante concernant les lois de conservation de cette equation.
La structure Hamitonienne de NLS donne une borne a priori sur les normes de Sobolev H¹ des solutions. Une autre invariance donne aussi une borne a priori sur la norme L² des solutions. La question alors est a-t-on des bornes a priori sur les autres normes de Sobolev H^s pour s différent de 0 et 1 ? Cette question a été popularisée en particulier par J. Bourgain dans les années 1990 et semble liée au phénomène de "turbulence faible".
En dimension 1, il est connu depuis les travaux de Zakharov-Shabat que NLS peut s’écrire sous la forme de Lax. Par conséquent on obtient que les normes de Sobolev de chaque solution restent bornées.
Nous allons annoncer un résultat qui montre qu’en dimension trois nous pouvons bien construire des solutions de l’équation de Schr\"odinger non linéaire qui ne sont pas bornées dans H^s, pour s>1 et meme pour certains s dans (0,1). Cela montre une rigidité remarquable des lois de conservation pour NLS. Ces solutions sont périodiques par rapport à deux des variables et localisées par rapport à la troisième variable. Ce résultat est basé sur une combinaison subtile d’un phénomène de type diffusion d’Arnold et un résultat de diffusion modifiée a valeurs vectorielles.
Au début de l’exposé nous allons présenter quelques résultats basiques, élémentaires mais fondamentaux concernant l’équation de Schrödinger linéaire périodique et sur la droite. Ensuite, nous allons discuter le problème sans dispersion. Ensuite, nous allons présenter les conséquences du travail de Zakharov-Shabat. Dans la deuxième partie de l’exposé, nous allons d’abord montrer comment on peut se ramener à l’étude d’un problème simplifié prenant en compte uniquement la partie "résonnante" de la non linéarité. Finalement, nous allons montrer quelques aspects de l’étude de ce problème simplifié.

Lieu : Salle A318

Pour en savoir plus sur cet événement, consultez l'article Colloquium