UMR 5584

LES SEMINAIRES DE MATHEMATIQUES-PHYSIQUE

• We consider integrable non-diagonalisable hydrodynamic type systems with a single multiple root of a characteristic polynomial of a velocity matrix.
We apply the Extended Hodograph Method to construct a general solution.
For the Mikhalev three-dimensional linearly degenerate equation of second order we present simplest solution selected by three-component integrable non-diagonalisable hydrodynamic type system with a triple root.

Salle A318

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• In this talk we construct integrable dispersive chains, which have Lax prepresentation, Hamiltonian structures and infinitely many local conservation laws.
For these integrable dispersive chains we construct infinitely many multi-phase solutions.

Salle A318

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• Uniform Lp resolvent estimates established by Kenig, Ruiz, and Sogge in the case of the Euclidean space, and their extensions to the case of Riemannian manifolds, turn out to be of major importance in numerous problems of spectral theory and PDE. In this talk we shall focus on their applications to the problem of the distribution of eigenvalues of Schrodinger operators with complex valued unbounded potentials, to the problem of absolute continuity of the spectrum of the periodic Schrodinger operator, as well as to inverse boundary problems.

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• The rotation number (or "twist") of an integrable Hamiltonian system is a well-known dynamical quantity, whose irrationality can ensure the persistence of integrable dynamics under perturbation (KAM theory). Motivated by recent results on spectral asymptotics of some nonselfadjoint operators by Hitrik-Sjöstrand, we introduce a purely spectral number, the quantum rotation number, associated to a pair of commuting operators. Using this we prove that one can "hear" the classical rotation number, ie. one can detect it directly from the spectrum, in the semiclassical limit. We investigate the case of circular symmetry (semitoric systems), including numerics. Joint work with Monique Dauge and Mike Hall.

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• We consider the focusing energy critical nonlinear Schrodinger equation in R^d with radial initial data close to a ground state. We show that for d sufficiently large, the solutions that ​during their lifespan stay close in the energy space to the ground state family, are global and scatter​ to a member of this family. In particular, radial type II blow up near the ground state is ruled out if the dimension ​is sufficiently large even though it is known to occur in small dimensions.

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• We shall discuss uniform L^p resolvent estimates for elliptic operators. Originally obtained by Kenig, Ruiz, and Sogge in the case of the Euclidean space, they have been established by Shen for the flat torus and by Dos Santos Ferreira, Kenig, and Salo for general compact manifolds, in the case of the Laplacian. We shall discuss an extension to the case of higher order self-adjoint operators, as well as to some weakly non-self-adjoint operators, such as the stationary damped wave operator. Our approach is based on the techniques of semiclassical Strichartz estimates. Applications to spectral theory for periodic Schrodinger operators as well as to inverse boundary problems for elliptic operators with coefficients of low regularity will be presented. This talk is based on joint works with Gunther Uhlmann and with Nicolas Burq and David Dos Santos Ferreira.

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• We consider $H=-\Delta+V(x)$ in dimension two, $V(x)$ being a quasi-periodic potential. We prove that the spectrum of $H$contains a semiaxis (Bethe-Sommerfeld conjecture) and that there is a family of generalized eigenfunctions at every point of this semiaxis with the following properties. First, the eigenfunctions are close to plane waves $e^i\langle \vec k,\vec x\rangle$ at the high energy region.
Second, the isoenergetic curves in the space of momenta $\vec k$ corresponding to these eigenfunctions have a form of slightly distorted circles with holes (Cantor type structure).
It is shown that the spectrum corresponding to these eigenfunctions is absolutely continuous. We prove existence of ballistic transport. A method of multiscale analysis in the momentum space is developed to prove the results.

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• First, I will review the problem off Global existence for dispersive equations.
Then, I present a new approach to classify the asymptotic behavior of certain classes of wave equations, supercritical and others, with large initial data. In some cases, as for Nirenberg type equations, a fairly complete classification of the solutions (finite time blowup or global existence and scattering) is proved.
I will also present a new class of (quasi-normed) spaces that allow the extension of Global existence results for "large" data in the standard critical norms.

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• On étudie les équations d’évolution associées à des opérateurs différentiels quadratiques non-autoadjoints accrétifs dont les coefficients dépendent du temps. On montre que les opérateurs solutions pour ces équations d’évolution non-autonomes sont donnés par des opérateurs de Fourier intégraux dont les noyaux sont des distributions tempérées gaussiennes associées à des transformations canoniques complexes positives, et on dérive une formule de Mehler pour leurs symboles de Weyl. Des applications sont données à l’étude de la propagation des singularités de Gabor (caractérisant le manque de régularité de type Schwartz) pour les solutions des ces équations d’évolution non-autonomes.

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• Our final goal is to demonstrate that the spectrum of Schrodinger operator with polynomial potential is given by the roots of certain Bethe equations.

In the part 1 of the course (monday, May 22) we will discuss analytic properties of the solutions of Schrodinger equation (wave functions) as holomorphic functions in the complex plane. A particular attention will be given to behaviour of the wave functions at infinity where they can be approximated by quasiclassical=eikonal=WKB expressions and where Stokes phenomena emerges. We will finish by deriving Bohr-Sommerfeld quantisation conditions using arguments of analytic continuation in the complex plane.

In the part 2 of the course (Tuesday, May 23) we will introduce the notion of spectral determinants, study their analytic properties and derive Bethe equations that fix zeros of these determinants. Derivation itself will exploit the analytic properties of wave functions introduced in part 1. We will finish with numerical solution of the Bethe equations and, if time permits, discuss generalisations of this formalism known as ODE/IM correspondence.

Salle René Baire

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• Our final goal is to demonstrate that the spectrum of Schrodinger operator with polynomial potential is given by the roots of certain Bethe equations.

In the part 1 of the course (monday, May 22) we will discuss analytic properties of the solutions of Schrodinger equation (wave functions) as holomorphic functions in the complex plane. A particular attention will be given to behaviour of the wave functions at infinity where they can be approximated by quasiclassical=eikonal=WKB expressions and where Stokes phenomena emerges. We will finish by deriving Bohr-Sommerfeld quantisation conditions using arguments of analytic continuation in the complex plane.

In the part 2 of the course (Tuesday, May 23) we will introduce the notion of spectral determinants, study their analytic properties and derive Bethe equations that fix zeros of these determinants. Derivation itself will exploit the analytic properties of wave functions introduced in part 1. We will finish with numerical solution of the Bethe equations and, if time permits, discuss generalisations of this formalism known as ODE/IM correspondence.

Salle René Baire

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• We establish connections between two objects, naturally arising in the theory of the Kadomtsev-Petviashvily equation : totally nonnegative Grassmannians and rational degenerations of the M-curves (Riemann surfaces with an antiholomorphic involution and the maximal possible number of real ovals) with a collection of marked points.

More precisely, we show that a KP divisor satisfying the reality conditions on a degenerate M-curve is canonically associated to any point in the totally non—negative Grassmannian.

In the case of rational degenerations of hyperelliptic M-curves, we also solve the inverse problem and explain the connection to the finite Toda system.

This research is done in collaboration with P.G. Grinevich (LITP, Moscow)

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• We will introduce the notion of quantum spectral curve (QSC) and discuss its basic geometric and algebraic properties. Then we will consider a particular case of rational spin chains where QSC reduces to Plucker relations defined on a Young diagram and becomes a powerful tool to compute the explicit spectrum.

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• In the algebraic approach to quantum field theory on curved backgrounds, there exists a distinguished class of quantum states for free field theories, called Hadamard states. These are of particular relevance since they yield finite quantum fluctuations of all observables and they can be used to implement interactions at a pertubative level. In this talk we outline a procedure to construct explicitly these states on a large class of globally hyperbolic manifolds, which are asymptotically flat at null infinity.
The method calls for identifying via an injective map the algebra of observables of any free field theory with a subalgebra of a suitable counterpart built on the conformal boundary of the underlying manifold. Each state for the boundary theory identifies thus via pull-back a counterpart for the physical theory under investigation. We show that there exists a canonical choice for the boundary state which guarantees that the bulk counterpart is Hadamard and, moreover, invariant under the action of all isometries. We discuss in detail the case of linearized gravity for which a previously unknown obstruction in using this method has been recently unveiled.

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• On examine le problème de Cauchy (PC) pour des opérateurs hyperboliques ayant des caractéristiques de multiplicité variable et on s’intéresse d’étudier les opérateurs pour lesquels le (PC) est bien posé pour chaque choix des termes d’ordre inférieur. Pour ce problème est résolu. Dans l’exposé on présentera les résultats dans le cas basés sur des estimations énergétiques avec une grande perte de régularité. Pour cela on utilise une nouvelle idée liée aux symétriseurs non défini positifs et une forme faible d’inégalité de Fefferman-Phong pour des symboles matriciels.

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• The connection between quantum field theory and Grothendieck’s theory motives aims at understanding the number theoretic aspects of Feynman integrals via their period interpretations. The arrangements of the smooth quadric hypersurfaces (a.k.a. the graph hypersurfaces) and the certain hyperplane arrangements (i.e., the configuration spaces) have been examined in order to understand the Feynman integrals respectively in momentum and position space formulations. I will discuss a new one in this talk ; arrangements of singular quadrics. I will discuss the motives of such arrangements associated to the Feynman integrals in phi^3 theory.

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• The quasi-normal modes are the scattering resonances for incoming waves
by black holes. I will consider the properties of the resonances for the
Dirac waves in non-rotating and slowly rotating black holes : asymptotic
distribution and resonance expansions

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• Après avoir brièvement décrit la relation entre les fonctions génératrices des invariants de Gromov-Witten et les hiérarchies intégrables, je vais examiner deux sujets de mes recherches plus récentes : la construction d’une variété de Frobenius de dimension infinie et la théorie des déformations des structures de Poisson et bi-Hamiltoniennes.

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• Pendant mon séminaire j’expliquerai comment on peut décrire, de façon analytique, la convergence du modèle de Kontsevich vers certaines solutions de la hiérarchie de la première équation de Painlevé, et quelle est leur monodromie. Mon outil principale sera la théorie des transformations de Darboux. Ensuite, je discuterai l’universalité (dans le sens de la théorie des matrices aléatoires) de ce modèle.

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• A température très basse, les particules de certains gaz peuvent se placer toutes dans le même état quantique. Ces systèmes, appelés "condensats de Bose-Einstein", sont maintenant activement étudiés en laboratoire.
Dans cet exposé je ferai une revue de résultats mathématiques récents obtenus avec Phan Thanh Nam (Vienne) et Nicolas Rougerie (Grenoble) concernant l’apparition de la condensation de Bose-Einstein. Il s’agit d’étudier le comportement d’un système dans une limite où le nombre de particules N tend vers l’infini, et de montrer qu’elles finissent par adopter un comportement global commun, menant à une équation de champ moyen. Je parlerai principalement d’un régime simplifié dans lequel l’interaction est de l’ordre de 1/N.

Salle 318

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• Il est bien connu que le spectre d’un opérateur non-normal peut être extrêmement sensible même aux perturbations très faibles. Exploitant ce phénomène, une suite de travaux de Sjöstrand, Hager, Bordeaux-Montrieux, Zworski et Christiansen montre que nous avons une loi de Weyl probabiliste pour une grande classe des opérateurs (pseudo-)différentiels non-normaux dans la limite semiclassique soumis à des petites perturbations aléatoires.
Nous allons discuter des résultats récents concernant la statistique spectrale dans certains cas et des problèmes ouverts.
C’est un travail conjoint avec Stéphane Nonnenmacher.

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• Starting with local fundamental solutions to the d’Alembert operator on Lorentzian manifolds, we shall review the construction of global fundamental solutions and Green’s operators on globally hyperbolic (and a few other) spacetimes.
If time allows, we shall explain how Green’s operators give rise to algebras of observables.
A large part of the talk will be based on the book "Wave equations on Lorentzian manifolds and quantization" by Christian Bär, Nicolas Ginoux and Frank Pfäffle (ESI Lectures in Mathematics and Physics, EMS Publishing House, 2007).

Salle 318

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• Je présenterai des résultats concernant l’asymptotique spectrale (dans la limite semi-classique) pour le Laplacien magnétique dans le cas d’un champ magnétique non uniforme.
L’ingrédient essentiel est l’étude géométrique de la variété caractéristique et la quantification des différentes oscillations du flot hamiltonien en temps long via des formes normales de Birkhoff. C’est un travail en collaboration avec B. Helffer, Y. Kordyukov et S. Vu Ngoc.

Salle 318

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• The incapability of Canonical Quantisation of dealing with non-linear problems, well established very soon by no-go theorems (Groenwald-van Hove, von Neumann), must be circumvented by generalizing the old quantisation algorithm. A first attempt was given by means of geometric methods, according to the Geometric Quantisation scheme (Kirillov-Kostant, Souriau). Geometric Quantisation solves only half of the problems, although it clarifies the mathematical setting bringing closer Classical and Quantum Mechanics. To face the rest of the problems we have to resort also to algebraic techniques, centred on the Lie group structure, associated with physical symmetries, thus constituting some sort of Group Approach to Quantisation. In particular, such an approach provides a fresh and powerful perspective on the notion of anomaly in quantum mechanics and quantum field theory. In the first lecture I will present an introduction to the fundamentals of the Group Approach to Quantisation method and, in a second lecture, I will address some applications of the formalism.

Salle 214

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• The incapability of Canonical Quantisation of dealing with non-linear problems, well established very soon by no-go theorems (Groenwald-van Hove, von Neumann), must be circumvented by generalizing the old quantisation algorithm. A first attempt was given by means of geometric methods, according to the Geometric Quantisation scheme (Kirillov-Kostant, Souriau). Geometric Quantisation solves only half of the problems, although it clarifies the mathematical setting bringing closer Classical and Quantum Mechanics. To face the rest of the problems we have to resort also to algebraic techniques, centred on the Lie group structure, associated with physical symmetries, thus constituting some sort of Group Approach to Quantisation. In particular, such an approach provides a fresh and powerful perspective on the notion of anomaly in quantum mechanics and quantum field theory. In the first lecture I will present an introduction to the fundamentals of the Group Approach to Quantisation method and, in a second lecture, I will address some applications of the formalism.

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• Le problème du plus court vecteur dans un réseau Euclidien (abrégé en SVP, pour Shortest Vector Problem) consiste à trouver un vecteur non-nul le plus court dans un réseau, à partir d’une base arbitraire de ce dernier. Asymptotiquement, les méthodes par crible sont les plus rapides connues à ce jour pour résoudre SVP. Leurs coûts en temps et en espace croissent exponentiellement avec la dimension n du réseau. En particulier, tous les algorithmes de crible nécessitaient jusqu’à présent un espace qui croît (de manière heuristique) comme 2^(0.2075n+o(n)).

Dans cet exposé, j’expliquerai en quoi la compréhension de la difficulté de SVP est fondamentale pour le déploiement de la cryptographie reposant sur les réseaux Euclidiens. Ensuite, je présenterai un nouvel algorithme de crible dont la complexité en espace est inférieure aux précédents. L’idée principale est de considérer des tuples de vecteurs proches, plutôt que des paires comme dans les cribles précédents. En prenant des triplets, le coût en espace croît (toujours de manière heuristique) comme 2^(0.1887n+o(n)).

La deuxième partie de l’exposé repose sur un travail en communavec Shi Bai et Thijs Laarhoven. https://eprint.iacr.org/2016/713.pdf

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• Ce séminaire sera moins formel que d’habitude, laissant la place pour de la discussion. On s’intéressera à une identité entre opérateurs, appelée identité de "Yang-Baxter" et cruciale dans le domaine de l’"intégrabilité quantique". Dans le cas le plus simple, c’est une simple identité sur des matrices 4x4 dont l’essentiel des coefficients sont nul.Retour ligne automatique
L’objectif est de présenter un contexte physique (des chaines de spins) où apparait l’identité de Yang-Baxter, et si le temps le permet de présenter quelques résultats combinatoires ; y compris pour un auditoire peu familier avec la physique.
Ce séminaire s’adresse particulièrement aux non spécialistes du sujet (par exemples les membres d’autres équipes, qui peuvent utiliser l’identité de Yang-Baxter dans d’autres contextes (par exemple en théorie des nœuds).

In this seminar, we will discuss "quantum integrability" and the so-called Yang-Baxter Equation. The aim is to briefly describe a physical context where this identity occurs, and discuss some combinatorics that appears.
This seminar should suit a braod audiance including people who are not specialists of mathematical physics (for instance members of other groups, who may use the Yang-Baxter identity in other topics, such as knot theory).

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• Ce séminaire sera moins formel que d’habitude, laissant la place pour de la discussion. On s’intéressera à une identité entre opérateurs, appelée identité de "Yang-Baxter" et cruciale dans le domaine de l’"intégrabilité quantique". Dans le cas le plus simple, c’est une simple identité sur des matrices 4x4 dont l’essentiel des coefficients sont nul.
L’objectif est de présenter un contexte physique (des chaines de spins) où apparait l’identité de Yang-Baxter, et si le temps le permet de présenter quelques résultats combinatoires ; y compris pour un auditoire peu familier avec la physique.

Ce séminaire s’adresse particulièrement aux non spécialistes du sujet (par exemples les membres d’autres équipes, qui peuvent utiliser l’identité de Yang-Baxter dans d’autres contextes (par exemple en théorie des nœuds).

In this seminar, we will discuss "quantum integrability" and the so-called Yang-Baxter Equation. The aim is to briefly describe a physical context where this identity occurs, and discuss some combinatorics that appears.

This seminar should suit a braod audiance including people who are not specialists of mathematical physics (for instance members of other groups, who may use the Yang-Baxter identity in other topics, such as knot theory).

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• Soient $\Omega\subset \mathbbR^d$ un ouvert régulier et $n$ la normale unitaire sortante sur le bord. On étudiera certaines propriétés spectrales du laplacien dans $\Omega$ avec la condition aux limites de Robin $\frac\partial u\partial n=\alpha u$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$. En particulier, on discutera certaines inégalités isopérimétriques pour les valeurs propres du laplacien et pour la courbure moyenne du bord de $\Omega$. Les résultats sont obtenus en collaboration avec Nicolas Popoff (Bordeaux), Vincent Bruneau (Bordeaux) et Hynek Kovař́k (Brescia).

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• We present a spectral decomposition of solutions to relativistic wave equations formulated on a Schwarzschild-black-hole background. We first consider an asymptotically flat spacetime and, after considering the Laplace transformation of the wave equation in question, we present an algorithm for obtaining all ingredients of the desired spectral decomposition, including quasi-normal modes, quasi-normal mode amplitudes as well as the jump of the Laplace-transform along the branch cut. The work explains extensively this procedure and includes detailed discussions of relevant aspects, such as the contribution of infinity frequencies modes to the early time response of the black hole and its relation to the QNM-amplitudes grow’s rate. In a second part, we employ the same strategy to study the solution of wave equations on an asymptotically AdS background. The system models the response of the chiral magnetic effect due to continuous quenches induced by time dependent electric fields via AdS/CFT correspondence. In this talk, we focus on the possibility of considering the asymptotic growth rate of the amplitudes as a well defined notion of initial time scale for linearized systems.

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• We constructed the conformally invariant model for scalar particle creation induced by strong gravitational fields. Starting from the “usual” hydrodynamical description of the particle motion written in the Eulerian coordinates we substituted the particle number conservation law (which enters the formalism) by “the particle creation law”, proportional to the square of the Weyl tensor (following the famous result by Ya. B. Zel‘dovich and A. A. Starobinsky). Then, demanding the conformal invariance of the whole dynamical system, we have got both the (Weyl)-conformal gravity and the Einstein–Hilbert gravity action integral with dilaton field. Thus, we obtained something like the induced gravity suggested first by A. D. Sakharov. It is shown that the resulting system is self-consistent. We considered also the vacuum equations. It is shown that, beside the “empty vacuum”, there may exist the “dynamical vacuum”, which is nothing more but the Dirac sea.

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• test

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• My aim is to discuss the state of the art of perturbative algebraic QFT. I wish to begin
by talking about the simple mathematical and physical backgrounds. Afterwards, I would present the core of the subject, namely how deformation quantization provide the most perfect framework to discuss specific models for QFT in interactions. After many years since the first paper (BR and K. Fredenhagen, 2000) the subject is mature enough to provide the first non trivial applications to domains considered far and complicated like quantum gravity and quantum statistical mechanics. If time allows me, I would like to briefly present applications to the standard model of cosmology and condensed matter (Bose-Einstein).

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• Gelfand and Graev found that the horospherical transform is a perfect way to construct harmonic analysis on complex semisimple Lie groups or Riemannian symmetric spaces. However, for real semisimple Lie groups (starring of SL(2 ;R)) or, more general, for pseudo Riemannian symmetric spaces the horospherical transform has kernel corresponding to discrete series.
Gelfand’s problem : is it possible to find a version of the horspherical transform, which works for discrte series ?
We will consider the idea to extend the set of real horospheres by complex horospheres without real points. We define a horospherical Cauchy transform on real symmetric space with singularities on complex horospheres, and it completely reproduces harmonic analysis on pseudo Riemannian symmetric spaces.

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• Nous reviendrons sur divers résultats d’universalité pour les limites thermodynamiques d’ensembles de matrices aléatoires et leurs fluctuations dans trois régimes différents (microscopique, mésoscopique et macroscopique). Puis nous exposerons les prémices d’un programme de recherche mené conjointement avec N. Simm (Université de Warwick) concernant les dynamiques dissipatives de log-gas (ou : mouvement Brownien de Dyson). Nous montrerons entre autres comment obtenir des "loop equations" dynamiques très générales pour ces dynamiques.

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• Nous discutons l’interprétation holographique d’une classe spéciale de blocs conformes dans la limite semi-classique en termes de particules dans un espace de type AdS.
Nous décrivons explicitement la configuration correspondante dans AdS. Elle se compose d’un certain nombre de particules relativistes classiques qui se propagent dans le fond d’un défaut conique. Nous démontrons la correspondance dans le cas du bloc à cinq points. L’analyse dans AdS repose sur une procédure perturbative qui traite la configuration à n point comme une déformation de la configuration à (n-1) points. Le calcul dans la théorie conforme repose sur l’étude des propriétés de monodromie de l’équation différentielle Fuchsien auxiliaire.

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• Les modèles sigma non-linéaires sont des théories de champs bi-dimensionnelles qui décrivent la propagation des cordes dans des espaces avec courbure. La quantification des modèles sigma impose des contraintes sur la structure géométrique de ces espaces. Cependant, au niveau classique peu de choses sont connues sur les modèles sigma.
L’expose concernera le problème de l’intégrabilité classique des modèles sigma et son lien avec les théories des cordes. La geometrie derriere l’integrabilite de ces modeles sera analysee.

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• A crucial challenge in the study of quantum field theories is to develop new, non-perturbative methods giving access to the strongly coupled regime. Recently, great progress in this direction has been fostered by the powerful technique of localization, which allows to evaluate exactly, i.e. at any value of the coupling, the path integral of supersymmetric quantum field theories in curved space. This also unveiled beautiful mathematical structures. After an introduction to the topic, I will focus on four-dimensional manifolds with S^1 x S^3 topology and present the localization computation of the partition function for a general supersymmetric quantum field theory. From the result I will extract the Casimir energy of the theory on the three-sphere. While in general the Casimir energy depends on the regularization scheme, I will show that in the presence of supersymmetry it becomes an intrinsic observable, and thus encodes useful information. I will conclude emphasizing the relevance of these results for the AdS/CFT correspondence.

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• L’équation de Painlevé VI décrit les déformations isomonodromiques de systèmes Fuchsiens de rang 2 à 4 singularités régulières sur la sphère de Riemann. J’expliquerai comment construire explicitement sa solution générale ainsi que la solution du problème de Riemann-Hilbert isomonodromique associé en utilisant certaines fonctions spéciales (blocs conformes) qui apparaissent dans la théorie de représentations de l’algèbre de Virasoro.

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• By quantum matrix algebras I mean algebras related to quantum groups and close in a sense to that Mat(m). These algebras have numerous applications. In particular, by using them (more precisely, the so-called reflection equation algebras) we succeeded in defining partial derivatives on the enveloping algebras U(gl(m)). This enabled us to develop a new approach to Noncommutative Geometry : all objects of this type geometry are deformations of their classical counterparts. Also, with the help of the reflection equation algebras we introduced the notion of braided Yangians, which are natural generalizations of the usual ones and have similar properties.

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• Dans ce séminaire, je donnerai une revue des méthodes développées récemment pour déformer toute une classe de modèles sigma intégrables tout en préservant leur intégrabilité.

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• We investigate the nineteen-vertex model on a periodic chain and the corresponding spin-one XXZ Heisenberg Hamiltonian. For two specific twisted boundary conditions, the inhomogeneous transfer matrix has a simple eigenvalue. We construct the corresponding eigenstate explicitly using the quantum separation of variables technique. A number of sum rules and special components are computed and expressed in terms of Izergin-Korepin and Kuperberg determinants. An interesting connection with combinatorial problems arises in the homogeneous limit. In this limit, the sum rules and special components are expressed in terms of generating functions arising in the weighted enumeration of various symmetry classes of alternating sign matrices (ASMs). These include vertically symmetric ASMs, half-turn symmetric ASMs, quarter-turn symmetric ASMs, vertically and horizontally perverse ASMs and double U-turn ASMs.

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• Le théorème RAGE lie le spectre d’un opérateur auto-adjoint H au comportement asymptotique de la dynamique qu’il génère. En particulier, pour toute condition initiale la moyenne ergodique converge (faiblement) vers un élément de l’espace engendré par les vecteurs propres de H.
Je vais présenter une version plus fine de ce résultat pour les hamiltoniens à N corps, qui décrit aussi les sous-systèmes avec n<N particules.
Ceci est un travail en collaboration avec Mathieu Lewin.

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• I will discuss the problem of studying line defects in certain supersymmetric quantum field theories. Physicists are interested in understanding certain BPS states associated with such defects. I will give a precise description of these quantities in terms of certain enumerative invariants associated with a class of framed quivers. The computation of these invariants can be reduced to a purely combinatorial problem. If time permits, I will also describe a connection with the theory of cluster algebras.

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• I will describe a result obtained with Sylvia Serfaty about asymptotic limits of particle systems in d dimensional domains with pairwise interactions modeled by Riesz kernels |x|^-s for s ∈ [max0,d−2,d[. Motivations include Coulomb gases, eigenvalues for random matrix ensembles, Fekete sets and spherical designs from approximation theory and the physics of seminconductors immersed in strong magnetic fields.
I will recall how the first order term in the asymptotic expansion of the equilibrium energy (the mean field limit) can be obtained. Then I will show how to study and control a next order ”renormalized energy” that governs microscopic behavior of particles. We obtain an energy on infinite configurations of points belonging to a space of micropatterns, which is conjecturally minimized by particles disposed along very symmetric Bravais lattices.
A step towards such conjectures is to prove an equidistribution or ’rigidity’ phenomenon, according to which the average number of particles and average energy of minimizers at the microscale, are asymptotically independent of the scale at which we do this averaging
and depend only on the macroscopic density of particles. This was proved for 2D Coulomb interactions by Simona Rota-Nodari and Sylvia Serfaty, and the extension to general exponents and dimensions is work in progress with Simona Rota-Nodari.

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• The tetrahedron equation is a higher analogue of the Yang-Baxter equation. We will discuss a family of solutions to the tetrahedron equation arising in a certain quantum group context. These solutions allow us to obtain quantum dilogarithm identities associated to a sequence of quivers. Their counterparts involving classical dilogarithms are related to transformations of totally positive matrices.

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• After a brief review of the symmetry groups of asymptotically AdS and flat spacetimes, I will discuss the status of the four dimensional flat case. In particular, I will explain why current algebras need to replace the more traditional algebra of ADM-type charges and briefly comment on the relation to soft theorems.

In three dimensions, more results are available. In particular, the complete solution space is entirely controlled by group theory, the coadjoint representation of the Virasoro group in the AdS case and of the BMS3 group in the flat case. This allows one for instance to prove positive energy theorems by using well-established results on the coadjoint orbits of the Virasoro group. Finally, I will review the construction of BMS3 invariant two dimensional field theories by starting from the Chern-Simons formulation of gravity.

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• I will explain what r-spin theory is and how to construct the so-called Witten r-spin class. Then, I will show how it is related to the cohomology of a Koszul complex and how to use a result of Green on the study of base-point free linear systems to obtain the information we need about Witten r-spin class to compute the associated double ramification hierarchy.

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• The seminar will illustrate some recent results I obtained in collaboration with Chaozhong Wu on the theory of block Toeplitz determinants and the computation of topological tau functions for the Drinfeld Sokolov hierarchies associated to an arbitrary affine non twisted Kac-Moody algebra.

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• On étudie la propagation du front d’onde de Gabor pour des équations de Schrödinger dont l’hamiltonien est donné par la quantification de Weyl d’une forme quadratique dont la partie imaginaire est négative. On établit une inclusion entre le front d’onde de Gabor de la solution et celle de la donnée initiale qui montre que les singularités de Gabor se propagent uniquement dans l’espace singulier associé à l’opérateur quadratique, et que si l’intersection de cet espace singulier avec le front d’onde de la donnée initiale est vide alors la solution appartient à l’espace de Schwartz pour tout temps strictement positif.

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