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LES SEMINAIRES GEOMETRIE DES SYSTEMES DYNAMIQUES


  • À toute algèbre vertex V, on peut naturellement associer une certaine variété de Poisson, appelée la variété associée à V. Les propriétés géométriques de cette variété reflètent bien souvent des propriétés d’invariance modulaires des caractères des V-modules. J’illustrerai par des exemples ce phénomène, en particulier dans le cas des algèbres vertex affines (celles associées aux algèbres de Kac-Moody affine) et des W-algèbres.

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  • On s’intéresse au produit tensoriel $L(\lambda_1)\otimes L(\lambda_2)$ de deux représentations intégrables de plus haut poids d’une algèbre de Kac-Moody affine. Celui-ci est semisimple et les multiplicités de leur décompositions sont encodées dans des fonctions de corde. On s’intéresse ici au coefficient de plus bas degré de ces séries formelles. Les résultats que nous exposerons permettent notamment de décrire le support asymptotique des multiplicités de $L(\lambda_1)\otimes L(\lambda_2)$. En effet, ce support est un cône convexe localement polyhédral que nous décrirons par des inégalités linéaires explicites.

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  • Responsables du Séminaire : D.FAENZI - J.TAFLIN Lieu : Salle 318 - Aile 4 - Etage 3
    Dates et Horaires : Jeudi 10h30 - 11h30 et A partir de janvier 2016 : Jeudi 10h15 - 11h15 Certains jeudis nous proposerons deux séances, la deuxième 11h30 - 12h30
    les prochaines séances planifiées sont listées (...)

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  • Le groupe quantique déroulé de sl(2) est un quotient d’une quantification de sl(2), différent du groupe quantique de sl(2). Sa catégorie de modules de poids de dimension finie est non-semisimple et elle est l’exemple principal pour la construction des invariants quantiques d’entrelacs colorés et de 3-variétés à partir des catégories non-semisimples par Geer, Costantino et Patureau-Mirand, pour une racine de l’unité q=e^(pi i / r). Il y a un module V_0 simple projectif de dimension r sur le groupe quantique déroulé de sl(2), dont les puissances tensorielles décomposent à une somme directe de modules indécomposables projectifs.
    Jackson et Kerler ont construit des représentations irréductibles du groupe de tresses en utilisant des modules Verma génériques sur la groupe quantique de sl(2) et ils ont recouvré les représentations Burau et Lawrence-Krammer-Bigelow. Nous étudions l’action du groupe de tresses sur les puissances tensorielles de V_0 en adaptant la méthode de Jackson et Kerler sur le groupe quantique déroulé de sl(2). Le but est de restreindre l’action du groupe de tresses sur chacun des modules indécomposables projectifs qui apparaissent à la décomposition d’une puissance tensorielle de V_0.

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  • Une lamination par surfaces de Riemann hyperbolique est une décomposition localement triviale d’un espace compact par surfaces de Riemann (les feuilles) de telle sorte que le revêtement universel de toute feuille soit conformément équivalent au disque hyperbolique. Chacune des feuilles est alors uniformisée par le disque, ou c’est équivalent, possède une métrique hyperbolique. Le théorème d’uniformisation simultanée de Candel affirme que cette uniformisation est transversalement continue.

    Dans cet exposé nous revisiterons l’uniformisation de Candel à travers l’étude le la continuité de la fonction "feuille" dans l’espaces des variétés Riemanniennes complètes pointées muni de la topologie de Cheeger-Gromov. Nous donnerons en particulier la généralisation suivante. Toute fonction continue négative, lisse sur les feuilles, et transversalement continue dans la topologie lisse, est la fonction courbure des feuilles pour une famille transversalement continue de métriques Riemmanniennes feuilletées. C’est un travail en commun avec Graham Smith (UFRJ, Rio de Janeiro).

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  • Étant données deux transformations préservant une mesure de probabilité, il existe de nombreux invariants permettant de les distinguer à conjugaison près : entropie, spectre… Le problème de la classification de telles transformations est cependant un problème difficile en général puisque les transformations génériques ne peuvent être distinguées par ces invariants.
    Dans cet exposé, je présenterai un nouvel invariant : le groupe plein L1. Ce dernier est un groupe polonais qui retient complètement la dynamique à flip-conjugaison près : c’est l’analogue ergodique du groupe plein topologique. On verra comment son rang topologique (le nombre minimal d’éléments nécessaires pour engendrer un sous-groupe dense) est lié à l’entropie de la transformation.

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  • Les sous-variétés legendriennes forment un objet d’étude essentielle en géométrie de contact.
    La notion de cobordisme legendrien au sens d’Arnol’d consiste en une legendrienne de dimension n+1 "entre" deux legendriennes de dimension n.
    Dans cet exposé, nous rappellerons les différences de souplesse et de rigidité qu’offre cette notion comparée à celle de cobordisme lisse au sens classique.
    Nous nous intéresserons aux cobordismes legendriens dans l’espace de contact standard R^3 respectant les familles génératrices, autre notion pilier de la géométrie de contact.
    Nous construirons en particulier le groupe de concordance des noeuds legendriens qui sont des contours de fonctions génératrices quadratiques à l’infini.

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  • Il est bien connu qu’une variété homogène Riemannienne simplement connexe M possède la propriété suivante dite de "rigidité local-global" : étant donnée une autre variété simplement connexe riemannienne N dont les boules de rayon 1 sont isométriques à la boule de rayon 1 de M, alors N est isométrique à M. Dans cet exposé, nous étudierons cette propriété dans le cadre de graphes transitifs. Nous caractérisons en particulier les immeubles LG-rigides parmi ceux de SL(n,K) où K est un corps local (pas forcément commutatif)

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  • Etant donné un groupe libre F et un automorphisme phi de F, on considère l’extension de F par phi : c’est un groupe G, qui est Gromov hyperbolique si et seulement si l’automorphisme phi est atoroidal. Dans ce cas, on peut déduire des travaux de Kapovich-Kleiner que le bord de G est une éponge de Menger. Mais la preuve est assez indirecte, et ne donne donc pas vraiment d’outils pour poursuivre l’étude de ce bord. J’expliquerai comment trouver explicitement un graphe non planaire dans le bord de G (ce qui redémontre en particulier le résultat de Kapovich-Kleiner).
    Il agit d’un travail commun avec Yael Algom Kfir et Emily Stark.

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    les prochaines séances planifiées sont listées (...)

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  • La notion de soliton de Kähler-Ricci est une généralisation
    naturelle de la notion de métrique de Kähler-Einstein. Je vais présenter
    un résultat de concavité pour la fonctionnelle entropie de Perelman sur
    un voisinage d’un soliton de Kähler-Ricci.

    Le voisinage en question est lisse et contenu dans l’espace des
    structures complexes polarisées par une forme kählerienne dans la classe
    du fibré anti-canonique d’une variété de Fano.

    Ce résultat fournit un approche de type flot gradient, utile pour la
    solution du problème d’existence des solitons de Kähler-Ricci sur des
    variétés de Fano. La solution de ce dernier implique la solution du
    problème d’existence pour les métriques de Kähler-Einstein sur des
    variétés de Fano avec groupe d’automorphismes arbitraire.

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  • Un sous-shift est un ensemble fermé de suites sur un alphabet fini, invariant par décalage (le shift). Un automorphisme (également appelé automate cellulaire) est un homéomorphisme de cet espace qui commute avec le shift. L’ensemble des automorphismes préservant ce sous-shift est un groupe dénombrable en général compliqué. Nous présenterons dans cet exposé un survol des différentes restrictions sur ces groupes pour les sous-shifts d’entropie nulle.

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  • Le groupe de difféomorphismes holomorphes Aut(M) d’une variété complexe
    compacte M est un groupe de Lie de dimension finie. Obtenir des bornes pour
    la dimension de ces groupes est un problème classique d’analyse complexe.
    Il existe une relation évidente entre bornes pour l’ordre des singularités des
    champs de vecteurs holomorphes sur M et bornes pour la dimension de Aut(M).
    En effet, l’algèbre de Lie de Aut(M) s’identifie de façon naturelle à l’algèbre des
    champs de vecteurs holomorphes sur M. En ce sens, des résultats a priori sur
    la structure des singularités de champs de vecteurs holomorphes ont des
    applications aux problèmes qui portent sur la dimension de Aut(M).

    Dans cet exposé on présentera quelques résultats récents sur les singularités
    des champs de vecteurs, dont la plupart sont liés à une vieille conjecture de Ghys
    qui prédit que le deuxième jet d’un tel champ ne peut pas s’annuler en une
    singularité isolée. On expliquera aussi quelques difficultés, de nature dynamique
    et algébrique, qui apparaissent dans cette étude en dimension $\geq$ 3. Finalement,
    on indiquera une application relevante des idées ci-dessus au problème de
    Hwang-Mok en dimension 3.

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  • Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d’une telle structure équivaut à la donnée d’une variété algébrique réelle dont la complexification est isomorphe à X (i.e. une forme réelle de X). Le but de cet exposé est de montrer comment l’étude des groupes d’automorphismes des surfaces rationnelles peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d’équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près. En particulier, nous montrerons qu’une surface rationnelle dont le groupe d’automorphismes ne contient pas un groupe libre non-abélien admet un nombre fini de formes réelles puis nous donnerons au moins un exemple de surface rationnelle ayant à la fois un nombre fini de formes réelles à isomorphisme près et un "grand" groupe d’automorphismes.

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  • Si G est un groupe dénombrable, l’ensemble Sub(G) de sous-groupes de G est naturellement un espace compact, sur lequel G agit par conjugaison.
    On s’intéresse aux sous-groupes qui appartiennent aux fermés minimaux invariants pour cette action, appelés sous-groupes uniformément récurrents.
    Après avoir introduit cette notion, je vais expliquer de résultats qui permettent de décrire les sous-groupes uniformément récurrents d’une classe
    de groupes d’homéomorphismes, et expliquer comment cette notion s’avère utile pour prouver des résultats liés aux algèbres d’opérateurs des groupes,
    et des résultats de rigidité pour les actions de ces groupes sur les espaces compacts.

    Il s’agit de travaux en commun avec A. Le Boudec et T. Tsankov.

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  • Dans son article fondamental, K. Saito introduit les notions de
    formes et champs de vecteurs logarithmiques le long d’une hypersurface
    réduite singulière. Lorsque le module des champs de vecteurs
    logarithmiques est libres, on dit que l’hypersurface est libre. C’est le
    cas par exemple des courbes, des diviseurs à croisements normaux ainsi
    que des discriminants de singularités isolées d’intersections complètes.

    Une généralisation de la notion de formes logarithmiques aux
    intersections complètes réduites est développée par A.G. Aleksandrov et
    A. Tsikh, puis est étendue ensuite aux espaces de Cohen-Macaulay.

    L’objectif de cet exposé est d’étudier une généralisation de la notion
    de liberté aux espaces de codimension plus grande.

    Nous commencerons par rappeler la théorie de Saito le long des
    hypersurfaces, et nous nous intéresserons ensuite aux intersections
    complètes. Nous donnerons différentes caractérisations de la liberté
    pour les intersections complètes qui généralisent le cas hypersurface.

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  • A toute collection finie de courbes fermées sur une surface compacte, on associe une certaine norme sur le premier groupe d’homologie de la surface. Ces normes sont des cousines élémentaires des normes de Thurston sur le second groupe d’homologie des 3-variétés. En particulier, comme pour la norme de Thurston, la boule unité de la norme duale (sur la cohomologie) est l’enveloppe convexe d’un nombre fini de points entiers. On interprète ces points en termes d’orientations de la collection de courbes dont on est parti.
    Tout ceci est ensuite utilisé pour classifier les classes d’isotopie de sections de Birkhoff du flot géodésique sur une surface hyperbolique (c’est-à-dire les surfaces dans le fibré unitaire tangent de la surface qui sont transverses au flot géodésique et dont le bord est prescrit).

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  • Soit X une variété orientable, connexe et compacte munie d’un
    groupe d’automorphismes G d’ordre premier. Alors que le calcul de la
    cohomologie de X/G à coefficients dans un corps est relativement simple,
    de nombreuses difficultés apparaissent lors de l’étude de la cohomologie à
    coefficients entiers. Dans cet exposé, nous allons tout d’abord expliquer
    d’où viennent ces difficultés puis apporter quelques solutions basées sur
    des résultats élémentaires de la théorie des réseaux.

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  • Durant les années 60, il était conjecturé que les difféomorphismes d’une surface vérifiant l’axiome A de Smale étaient denses dans l’ensemble des difféomorphismes de cette surface. L’introduction dans les années 70 du phénomène de Newhouse, à savoir une infinité de puits pour un sous ensemble résiduel d’un ouvert de difféomorphismes, contredit cette conjecture. Depuis, ce résultat a été généralisé à C^2, R^3 ou C^3 par différentes méthodes.

    Dans cet exposé, je présenterai une généralisation à C^3 utilisant une variante complexe du blender, qui est un ensemble hyperbolique avec des propriétés fractales très particulières. Après des rappels sur le phénomène de Newhouse, je présenterai le principe du blender, dû à Bonatti et Diaz, et une construction d’un blender complexe. Je montrerai ensuite comment en déduire l’existence d’un ouvert présentant un phénomène de Newhouse dans l’espace des automorphismes polynomiaux de C^3 de degré supérieur à 5.

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  • Le calcul MOY a été introduit dans les années 90 pour calculer combinatoirement l’invariant quantique correspondant à l’algèbre de Hopf U_q(\mathfrak{sl}_N). Il associe à un graphe étiqueté — dit graphe MOY — un polynôme de Laurent symétrique en q.

    On peut voir les graphes MOY comme les objets d’une catégorie de cobordismes où les cobordismes sont des surfaces avec certaines singularités que l’on appelle "mousses".

    J’expliquerai comment, à partir d’une formule d’évaluation des mousses, on peut obtenir une TQFT pour cette catégorie de cobordismes, c’est-à-dire un foncteur monoïdale qui associe à chaque graphe MOY un espace vectoriel et à chaque mousse une application linéaire.

    Ce travail est motivé par le programme de catégorification des invariants quantiques de nœuds initié par Khovanov en 1999. Je détaillerai comment nos résultats s’inscrive dans ce programme. Enfin je montrerai que la TQFT obtenue permet d’avoir une description alternative de l’anneau de cohomologie des variétés de drapeaux partiels et de la combinatoire de sa multiplication.

    Il s’agit d’un travail en collaboration avec E. Wagner.

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  • Le but de l’exposé est d’exprimer la classification à isotopie rigide
    près des courbes rationnelles réelles de degré 5 en fonction des
    invariants topologiques des courbes et ainsi que des restrictions
    algebro-géometriques données par le théorème de Bézout et la formule
    d’orientation complexe de Rokhlin. La première partie de l’exposé sera
    dédiée à une introduction au problème de classification à isotopie
    rigide des courbes planes. La seconde partie de l’exposé sera dédiée
    à présenter les dessins associés aux courbes, un outil combinatoire
    qui permet de classifier les classes d’isotopie rigide.

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  • Dans cet exposé, je discuterai quelques phénomènes de géométrie algébrique en caractéristiques p. Le terme « pathologie » est par opposition àa la caractéristique zero, où par exemple la fibre générique d’un morphisme entre variétés lisses est elle-même lisse. Cette propriété de la fibre générique n’est pas vraie en général en caractéristique positive et on peut se demander dans quelle mesure les résultats de classification des variétés complexes restent vrais sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive. Le but ultime sera de discuter un travail en cours avec S. Schröer sur les fibrations de del Pezzo.

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  • Avec un échange d’intervalle affine donné vient naturellement une famille de dynamiques indexées par le cercle. En effet, la pré-composition par une rotation de l’application initiale définit un autre échange d’intervalle affine.
    On étudiera cette famille à paramètre dans un cas particulier à travers la géométrie de la surface affine associée et son groupe de transformations affines.

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  • Après un rappel de la notion de concordance et des motivations, on présentera la construction d’un nouvel invariant pour les entrelacs colorés, associé à certains caractères du groupe fondamental de leur complémentaire. Il apparait comme une généralisation d’un invariant "eta" introduit par Kojima et Yamasaki, et dont Cochran avait démontré l’indépendance aux enlacements de Milnor. On peut dans la plupart des cas le calculer comme un quotient de polynômes de Conway. Il est de plus relié au terme de correction par la non-additivité de Wall de la signature de 4-variétés. Travail en cours avec A.Degtyarev et A.Lecuona.

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  • The construction of compact Hyperkahler (HK) manifolds is a notoriously difficult problem. Currently, all the known examples are : two infinite series (deformations of Hilbert schemes of points on K3s, and generalized Kummer varieties) and two exotic examples due to O’Grady in dimension 6 (OG6) and dimension 10 (OG10). While O’Grady’s construction of OG10 is based on Mukai’s approach via moduli of sheaves on K3s, we propose here a new ``Lagrangian’’ construction for OG10. Specifically, we start with a general cubic fourfold X, and consider the Intermediate Jacobian fibration J associated to the universal family of hyperplane sections on X. This is well defined and algebraic (cf. Donagi-Markman) over the locus U of smooth hyperplane sections of X. As previously conjectured by Markushevich, we prove that J/U admits a smooth, flat compactification, which is a Hyperkahler manifold, deformation equivalent to OG10. Our main tool here is the construction of a relative compactified Prym.

    This is joint work with G. Sacca and C. Voisin.

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  • J’expliquerai un formalisme algébrique et combinatoire qui permet de décrire la structure d’anneau d’une cohomologie orientée T-équivariante, où T est un tore, appliquée à une variété projective homogène sous l’action d’un groupe semi-simple déployé de tore maximal T. L’ingrédient principal est la restriction aux points fixes sous l’action de T. Les espaces projectifs, les grassmanniennes, les variétés de drapeaux complets et les quadriques hyperboliques sont des exemples de telles variétés. La K-théorie, l’anneau de Chow et le cobordisme algébrique sont des exemples de cohomologie orienté

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  • Le théorème de décomposition de Beauville - Bogomolov affirme
    que toute variété compacte kählérienne dont la première classe de
    Chern est nulle est - à un revêtement étale fini près - le produit
    d’un tore, de variétés de Calabi-Yau et de variétés symplectiques irréductibles. Je présenterai un analogue conjectural de ce résultat pour les variétés complexes projectives (peu) singulières, puis j’en démontrerai des cas particuliers. J’expliquerai au passage qu’il suffit de montrer que
    certains feuilletages sont algébriquement intégrables.

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  • Les algèbres de Hall et leurs versions K-théoriques et cohomologiques jouent un rôle très important dans la geometrie algébrique, la théorie des représentations et la physique théorique. Par exemple, l’algèbre de Hall K-théorique (cohomologique) du champ des faisceaux de dimension zéro a été utilisée par Schiffmann et Vasserot pour généraliser les travaux de Nakajima et Grojnowski sur la cohomologie des schémas de Hilbert de points sur le plan complexe. Cette généralisation donne une construction des représentations géométriques des (limites de) algèbres de Hecke affines doubles (dégénérées) et prouve des conjectures de la théorie de jauge super-symétrique.
    Dans cet exposé, on montre un projet en cours avec Olivier Schiffmann sur la construction et les propriétés des algèbres de Hall K-théoriques et cohomologiques associées aux champs des faisceaux de dimension un sur l’espace cotangent de une courbe (c’est-à-dire, champs des faisceaux de Higgs sur une courbe).

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  • I will discuss certain invariants of quotients constructed using
    equivariant localization. In some cases these invariants
    become much studied euler characteristics and combinations
    of Hodge or Chern numbers of Calabi Yau manifolds and similar
    invariants attached to isolated singularities. This approach allows
    to identify invariants of singulairites and Calabi Yau
    manifolds giving unified approach to the so called Landau Ginzburg/Calabi
    Yau correspondence as well as obtain their generalizations.
    These results is an attempt to provide mathematical interpretation
    to ideas put forward by Witten 25 years ago.

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  • On relie les courbures de Lipschitz-Killing d’un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982).
    On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.

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  • Un arrangement de droites est une collection finie de droites dans le plan projectif complexe, et on s’intéresse à la relation entre la topologie et la combinatoire (c.-à-d. les relations d’incidence) de ces objets. A l’heure actuelle, on ne connaît fondamentalement que trois exemples de paires d’arrangements ayant la même combinatoire mais des topologies différentes (appelées paires de Zariski), dont une seule admets des équations réelles.

    Dans cet exposé, nous présentons une méthode de distinction de paires de Zariski admettant des équations réelles, basée sur le dénombrement de points dans une région précise du plan projectif réel au sein de la configuration dual de l’arrangement. Nous illustrerons cette méthode avec la construction d’une nouvelle paire de Zariski composée de 13 droites, admettant des équations rationnelles.

    Travail en collaboration avec B. Guerville-Ballé (Post-doc, Tokyo Gakugei University).

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  • Après avoir introduit le groupe de Cremona et expliqué pourquoi ses éléments sont loin de se comporter comme des automorphismes j’expliquerai le lien entre les transformations birationnelles du plan projectif complexe et les automorphismes de surfaces complexes compactes d’entropie positive. Je donnerai des constructions explicites de ces derniers et deux critères permettant de dire si une transformation birationnelle du plan projectif complexe est birationnellement conjuguée à un automorphisme.

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  • N. Hitchin a introduit en 87 une correspondance algébrique entre les
    applications harmoniques dans S(2) et S(3)(la sphère de dimension 3) avec une surface
    de Riemann hyperelliptic S appelée courbe spectrale. Le problème de période dépend de
    l’existence d’une différentielle Abélienne dh. Je décrirai la construction de (S,dh) relatif
    aux anneaux de Courbure Moyenne Constant de S(3) et des anneaux minimaux de S(2)xR.
    On évoquera la structure différentiable de l’espace modulaire de ces surfaces. On décrira
    comment naviguer dans l’espace des surfaces Alexandrov plongées par déformation de (S,dh).
    Par une étude globale de l’espace modulaire, nous serons en mesure de redémontrer la conjecture
    de Lawson : les tores CMC de S(3) sont des surfaces de révolution, les anneaux minimaux proprement
    plongés de S(2)xR sont feuilletés par des cercles.

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  • Soit \nu une mesure de probabilité sur le groupe des
    homéomorphismes du cercle, et soit (g_n) une marche aléatoire associée,
    i.e. g_n=f_n-1...f_0 oú (f_k) est une suite d’homéomorphismes tirés
    indépendamment selon la loi \nu. Sous l’hypothése que le groupe G(\nu)
    engendré par le support de \nu ne préserve pas de mesure de probabilité
    sur le cercle, nous montrons que tout point du cercle admet presque
    sûrement un voisinage I contracté exponentiellement vite par (g_n), et
    déduisons diverses conséquences ergodiques.

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  • J’exposerai des outils d’étude de l’espace des représentations d’un groupe fondamental d’une variété M dans un groupe de Lie. Je m’intéresserai plus précisément au cas des variétés de dimension 3. Je présenterai la variété de caractères, et comment une décoration combinatoire de M permet de domestiquer cette variété des caractères, en présentant des exemples.

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  • Je présenterai des estimées exponentielles sur la taille des trous spectraux des opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques dans le cas où la fréquence satisfait une condition diophantienne faible et dans le cas où le potentiel est analytique et petit. Ces résultats se généralisent au régime sous-critique par les travaux d’Artur Avila. Ces estimées ont notamment des conséquences sur l’homogénéité du spectre de tels opérateurs. Les résultats présentés dans cet exposé sont issus un travail en commun avec Jiangong You, Zhiyan Zhao et Qi Zhou.

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  • The minimal faithful permutation degree of a finite group G is the smallest non-negative integer n such that G embeds in the symmetric group Sym(n). This defines an invariant of the group G and while it is easy to define, it is very difficult to calculate in general. Moreover, it behaves extremely badly with respect to standard group theoretic operations such as direct product and homomorphic image. In this talk I will give a general survey of results in this area with plenty of examples of how this invariant behaves. I’ll explain how the minimal degree for finite nilpotent groups can be calculated by means of a ‘greedy’ algorithm, survey recent results with Easdown and Hendriksen on minimal degrees of direct products. This talk should be accessible to a general audience.

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  • Responsables du Séminaire : D.FAENZI - J.TAFLIN Lieu : Salle 318 - Aile 4 - Etage 3
    Dates et Horaires : Jeudi 10h30 - 11h30 et A partir de janvier 2016 : Jeudi 10h15 - 11h15 Certains jeudis nous proposerons deux séances, la deuxième 11h30 - 12h30
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  • The double ramification locus (DRL) parametrises pairs of a smooth curve C together with a principal divisor D on C. It is a closed substack of the stack of smooth marked curves, and can be viewed as a kind of generalisation of the notion of a modular curve. Constructing a `good’ compactification of the DRL is of interest in enumerative geometry and number theory, for example to provide a better understanding of the double ramification cycle, and of rational torsion points on abelian varieties. After giving suitable background, we will explain what we mean by a good compactification, and will explain how to construct one. If time allows we will also briefly discuss some applications.

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  • Les objets noués (noeuds, entrelacs, tresses, enlacements de chemins...) admettent des représentations fidèles en termes de diagrammes planaires à mouvements de Reidemeister près. Dans la littérature on a considéré ces classes d’equivalences de diagrammes avec d’autres mouvements locaux additionnels ; dans certains cas (e.g. le crossing change) la théorie devient peu intéressante, dans des autre cas (e.g. le self crossing change) la théorie reste très riche et topologiquement significative. Dans ce séminaire nous allons introduire/rappeler des analogues en dimension 4 des noeuds et d’autres objets noués et on va considerer des représentations de ces objets comme des diagrammes planaires, qui étendent les diagrammes planaires classiques et que l’on appelera welded. On montrera des relations avec le cas classique, des résultats de classification pour ces objets à plusieurs types de mouvements locaux près, et comment certains mouvements locaux dans le cadre welded étendent naturellement d’autres (différents) mouvements locaux dans le cadre classique. Travail en collaboration avec B. Audoux, J-B. Meilhan et E. Wagner.

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  • Habiro a introduit la catégorie des "enchevêtrements dans les corps en anses", qui englobe à la fois les noeuds usuels dans S^3 et les groupes de difféotopie des corps en anses. Nous rappellerons cette catégorie, avant d’expliquer comment l’intégrale de Kontsevich (originellement définie pour les noeuds) s’y étend en un foncteur à valeurs dans une catégorie de nature combinatoire : la catégorie des "diagrammes de Jacobi dans les corps en anses". Nous énoncerons une propriété d’universalité pour cet invariant et, en guise de conclusion, nous préciserons son lien avec la TQFT issue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki. (Travail en collaboration avec Kazuo Habiro.)

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  • Tout entrelacs L peut être transformé en la somme disjointe de ses composantes via un nombre fini de changements de croisements entre des composantes différentes ; le nombre minimal requis pour cela est noté sp(L) et appelé le "splitting number" de L, que l’on traduira par "nombre de splitting" faute de mieux. Cet invariant a été étudié par Batson-Seed au moyen de l’homologie de Khovanov, par Cha-Friedl-Powell au moyen du polynôme d’Alexander, et par Borodzik-Gorsky au moyen de l’homologie de Heegaard-Floer. Dans cet exposé, j’expliquerai comment la signature (multivariée) de L donne une borne inférieure sur sp(L). Bien que tout à fait élémentaire et très facile à calculer, cette borne se révèle étonnamment efficace. Elle permet par exemple de calculer sp(L) pour 129 des 130 entrelacs premiers à moins de 10 croisements. Elle implique également des généralisations de plusieurs des résultats des auteurs mentionnés ci-dessus.
    (Travail en collaboration avec Anthony Conway et Kleopatra Zacharova.)

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  • Localement dans C^2 ou globalement dans P^2(C), un d-tissu W(d) est implicitement défini par les courbes intégrales génériques d’une équation différentielle analytique ou algébrique F(x,y,y’)=0, polynomiale en y’ et de degré d. Parmi les invariants de telles configurations on étudie les symétries infinitésimales, c’est-à-dire les champs de vecteurs dont le flot local laisse stable toutes les feuilles de W(d). Ces champs forment une algèbre de Lie g qui pour d>2 est un système local de rang 0, 1 ou 3, en dehors du p-discriminant |D| défini par F. A l’aide de connexions méromorphes sur |D|, on donne des méthodes effectives pour étudier g et ses singularités. La présence de relations abéliennes de W(d) joue son rôle et divers exemples seront présentés dont notamment les 3-tissus associés à la géométrie des variétés de Frobenius ou WDVV-equations en dimension 3.

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  • Il s’agit d’un travail en commun avec Zhiyu Tian et Charles Vial. Après une introduction sur les variétés symplectiques holomorphes (ou hyper-Kählerienne), je vais présenter une version motivique de la conjecture de résolution crépante de Ruan. Plus précisément, pour une variété symplectique holomorphe munie d’un automorphisme symplectique, la conjecture prédit que l’anneau de Chow d’orbifold, à coefficient complexe, du champ quotient est isomorphe à l’anneau de Chow d’une résolution symplectique du quotient (comme une variété symplectique singulière). Je donnerai les ingrédients clés de la preuve de cette conjecture dans le cas des variétés de Kummer généralisées. Si le temps le permet, j’expliquerai la motivation initiale : la relation avec un scindage conjectural sur le groupe de Chow d’une variété symplectique due à Beauville.

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  • Le premier objet de cet exposé est une formule reliant deux invariants d’entrelacs de nature différente, à savoir les invariants de Milnor, qui sont extraits du groupe fondamental du complémentaire, et le polynôme de HOMFLYPT, un invariant quantique. Après avoir rappelé les définitions nécessaires, nous verrons ainsi que les invariants de Milnor d’un entrelacs de la 3-sphère s’expriment comme une combinaison linéaire de polynômes de HOMFLYPT de noeuds obtenus par certaines opérations de somme en bande.
    Nous verrons ensuite quelques éléments de preuve de cette formule, en présentant plus généralement le problème de caractérisation des invariants de type fini des enlacements d’intervalles ; nous donnerons quelques résultats dans cette direction.
    Il s’agit de travaux en commun avec A. Yasuhara.

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  • Thompson’s group F is a remarkable group discovered by Richard Thompson in the 1970s. It is like an atom, or a building block, for some families of groups that satisfy certain exotic group theoretic properties. In the study of these examples, there is an interplay between combinatorial group theory, topology, and dynamics. I will provide a survey of such groups that appear in my work (in part with some co-authors).

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  • J’énoncerai un principe général de quantification géométrique d’une EDP, ce principe étant relié à la théorie des invariants géométriques (GIT). Je traiterai ensuite le cas d’une EDP classique dans la littérature, l’équation de Monge-Ampère complexe sur une variété, en montrant qu’elle satisfait le principe, et lui associerai un flot géométrique. Je discuterai les applications et généralisations possibles. Si le temps le permet, je parlerai d’applications numériques.

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  • Les variétés hyperboliques complètes s’obtiennent comme quotients de l’espace hyperbolique H^n par des réseaux de PO(n,1), où n est la dimension. Très bien étudié est le cas des réseaux arithmétiques. Dans cet exposé je vais définir la notion quelque plus générale de ’réseau quasi-arithmétique’, et expliquer certains résultats obtenus concernant leurs covolumes.

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  • Les variétés horosphériques sont des compactifications d’espaces homogènes de la forme G/H, où G est un groupe réductif et H un sous-groupe contenant un sous-groupe unipotent maximal U de G. Dans cet exposé je me concentrerai sur les variétés horosphériques de rang de Picard 1 qui ne sont pas des espaces homogènes. Ces variétés sont des exemples de variétés à deux orbites. En particulier, l’étude de leurs courbes rationnelles présente des difficultés supplémentaires par rapport au cas homogène. J’expliquerai comment étudier les espaces de modules de courbes rationnelles sur ces variétés, et j’en déduirai des résultats concernant leur cohomologie quantique.

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  • Soit N une surface non orientable. Rappelons que le mapping class group de N, noté M(N), est le groupe formé des classes d’isotopies d’homéomorphismes de N. On se donne un sous-groupe G de M(N) d’indice fini et un homomorphisme injectif \varphi : G \to M(N).
    L’exposé tournera autour du résultat suivant (en cours de rédaction) en collaboration avec Elmas Irmak.

    Théorème : Il existe f \in M(N) tel que \varphi(g) = fgf^{-1} pour tout g \in G. En d’autres termes, \varphi est défini par un homéomorphisme de N.

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  • Une sphère affine exotique est une variété algébrique affine complexe lisse difféomorphe mais non algébriquement isomorphe à une quadrique affine lisse non dégénérée de même dimension. J’expliquerai brièvement pourquoi en dimension 1 et 2 la topologie d’une telle variété détermine uniquement sa structure algébrique et passerai ensuite à la construction de sphères exotiques de dimension 3.

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  • L’objet de départ de cet exposé Hilb^{k,n}_0(A^2) paramètre l’ensemble des paires de sous-schémas du plan z_k \subset z_n \subset A^2, supportés en (0,0), de dimension 0 et de longueur respective k et n. Pour l’étudier il est utile d’étudier C^nil(p), la variété commutante nilpotente d’une sous-algèbre parabolique p de gl_n. Comprendre les orbites nilpotentes de p devient alors nécessaire, problème qui sera abordé via la théorie des représentations de carquois.
    Travail partiellement en commun avec Magdalena Boos et Laurent Evain.

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  • La dichotomie stabilité/bifurcations pour les applications rationnelles en dimension complexe 1 a été théorisée au début des années 1980 par Mañé-Sad-Sullivan et Lyubich. Un phénomène important dans ce contexte est que dans toute famille holomorphe de fractions rationnelles, il y a un ouvert dense d’applications structurellement stables.

    Une dichotomie stabilité/bifurcations en dimension supérieure a été récemment construite par Berteloot, Bianchi et Dupont. Dans cet exposé je montrerai plusieurs mécanismes menant à des bifurcations robustes dans l’espace des paramètres.

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  • Un champ de vecteurs est appelé champ étoile (star flow) si les orbites périodiques de tout champ Y, suffisamment C1-proche de X, est hyperbolique.
    La définition équivalente pour les difféomorphismes implique l’hyperbolicité de la dynamique globale . C’est encore vrai pour les champs
    non-singulier, mais l’exemple de l’attracteur de Lorenz montre qu’il existe des flots étoiles qui ne sont pas hyperboliques.
    Les singularités sont hyperboliques, les orbites régulières sont hyperboliques "loin des singularités". Elles perdent leur hyperbolicité quand elles passent
    près de la singularité, mais récupèrent cette hyperbolicité dès qu’elles s’en éloignent.
    En dimension trois, ce phénomène est désormais assez bien compris, donnant naissance à la notion d’hyperbolicité singulière.

    En dimension plus grande, les généralisations directe de la notion d’hyperbolicité singulière ne permettent pas d’expliquer les exemples connus.
    Avec Adriana da Luz, nous proposons ici une façon de rendre compatible la notion d’hyperbolicité le long d’orbites régulière avec celle des singularités.
    Cela nous permet en particulier de caratériser les champs étoiles en toutes dimensions.

    L’idée essentielle est que la notion d’hyperbolicité singulière classique est une réponse globale à un problème local. Nous montrons que l’on peut localiser cette réponse.

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  • Dans cet exposé nous sommes intéressés aux flots engendrés par les champs de vecteurs de classe C1 en variétés fermés. La propriété d’expansivité de ces flots peut être imaginée comme un type de comportement chaotique, ou aléatoire. Cette intuition devient notamment évidente dans le cas particulier des flots d’Anosov. Il est donc naturel d’imaginer que les flots expansifs en général (et les flots d’Anosov en particulier) ont peu de symétries. Cela nous conduit à considérer le centralisateur d’un champ qu’engendre un flot expansif. Nous allons montrer dans cet exposé une preuve très simple pour un théorème des années 70 : les flots d’Anosov ont un centralisateur trivial. Notre argument, par contre, nous permettre relier un type d’expansivité très faible avec l’absence de symétrie : même pour les flots seulement séparateurs d’orbites, le centralisateur est géométriquement trivial. De plus, on peut ce questioner aussi quelle relation il y a entre le nombre de directions différentes dans le centralisateur d’un flot et son entropie. Ce travail c’est une collaboration avec Davi Obata et Javier Correa (UFRJ).

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  • Je présenterai un travail récent en collaboration avec Christiane Rousseau, concernant le déploiement de singularités irrégulières de champs de vecteurs holomorphe du plan complexe (bifurcation noeud-col). Un théorème de formes normales analytiques à paramètres sera exposé. Il généralise le cas non-déployé, traité géométriquement par F. Loray ou analytiquement par R. Schäfke et moi.
    Enfin, je prouverai un théorème à la Berthier-Touzet concernant l’intégrabilité liouvillienne à paramètres. Ce sera l’occasion de présenter un exemple de spécialisation du groupoïde de Galois-Malgrange paramétrique en présence d’une bifurcation du lieu singulier.

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  • Nous verrons comment à partir de la TQFT de Witten Reshetikhin-Turaev, on peut obtenir des représentations exotiques de groupes de surfaces.
    Ces représentations "quantiques" de groupes de surfaces vérifient d’importantes propriétés : elles sont d’images infinies mais chaque courbe simple fermée a une action d’ordre fini.
    Comme application, pour toute surface, on peut construire un revêtement fini de cette même surface dont l’homologie entière n’est pas générée par les tirés en arrière des courbes simples fermées de la base.
    Cet exposé représente un travail commun avec T. Koberda.

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  • Let X be a planar curve, and let N(h) be the number of rational points of height at most h on X (i.e. both denominators and numerators of both coordinates have absolute value at most h). How fast N(h) can grow as h tends to infinity ? A remarkable result of Bombiery and Pila claims that if X is "good" but not algebraic, then N(h) grows slower than any power of h (later this result was generalized to higher dimensions). Wilkie conjectured that for curves defined by polynomials and e^x it is even slower than some power of log h.

    The standard approach to these problems is the so-called Bombieri-Pila determinant method, a powerful combination of two extremely simple ideas. Unfortunately, to make it work a very technical tool, a Gromov-Yomdin parametrization, which properties are not well understood, was used.
    We noticed that one can replace it with a version of a Weierstrass preparation theorem. As a result, not only the proof of Bombiery-Pila becomes short and transparent, but one can prove the Wilkie conjecture for restricted exponential sets.

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  • Dans ses Princeton Notes, Thurston introduit les dites équations de recollement : un ensemble d’équations polynomiales à variables complexes décrivant les structures hyperboliques de 3-variétés à cusp, M. Les solutions de ces équations déterminent une représentation du groupe fondamental de M dans le groupe d’isométries de H³. Après quelques rappels, nous introduiront une généralisation de ces équations, pour des complémentaires de noeuds, dans un contexte non-commutatif, obtenues algébriquement à partir de triangulations hamiltoniennes.

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  • Invariants de signature pour les toiles (jw. Catherine Gille)

    La signature est un invariant géométrique de noeuds. Cet invariant est
    d’une part relativement simple à calculer (on dispose d’une description
    combinatoire) et d’autre part a une très belle interpétation
    géométrique. Le but de cet exposé est d’expliquer comment on peut
    étendre cet invariant aux graphes nouées (on se restreint aux graphes que
    l’on appelle toiles). Je rappelerai la définition de la signature d’un
    noeuds puis expliquerai comment on peut adapter la vue 4-dimensionel au
    cas des toiles.

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  • Le feuilletage de Hirsch est un feuilletage minimal d’une variété de dimension 3 par surfaces qui sont difféomorphes soit à un arbre de Cantor, c’est-à-dire une sphère privée d’un Cantor, soit à un tore privé d’un ensemble de Cantor. Par le théorème d’uniformisation simultanée de Candel ce feuilletage possède une métrique hyperbolique feuilletée, c’est-à-dire une famille de métriques hyperboliques dans les feuilles, qui varie continûment avec le paramètre transverse dans les cartes locales.

    Dans un travail en commun avec Pablo Lessa, nous décrivons l’espace de Teichmüller de ce feuilletage : nous proposons de trouver toutes ces métriques hyperboliques feuilletées "à équivalence près". Ici nous disons que deux métriques ont équivalentes si l’une est l’image de l’autre par un homéomorphisme de l’espace ambiant préservant les feuilles, et induisant sur chaque feuille un difféomorphismes isotope à l’identité. Nous prouvons que cet espace est homéomorphe à l’ensemble des courbes fermées continues du demi-plan et donnons un analogue des coordonnées de Fenchel-Nielsen.

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  • Les enchevêtrements ribbon sont des plongements propres de tores et cylindres dans la boule à 4-dimensions qui bordent des 3-variétés avec que des singularités ribbon. On construit un invariant d’Alexander pour ces objets qui induit une généralisation fonctorielle du polynôme d’Alexander. Ce foncteur est une extension du foncteur d’Alexander pour enchevêtrements classiques défini par Bigelow-Cattabriga-Florens and Flores-Massuyeau. Quand on considère des enchevêtrements ribbon de type tresse, ce foncteur coïncide avec les puissances extérieures de la représentation de Burau-Gassner.
    On observe que l’action des cobordismes sur les enchevêtrements ribbon donne une structure d’algèbre circuit sur l’operad des cobordismes, et on montre que l’invariant d’Alexander commute avec la composition dans cette algèbre. D’autre part, les enchevêtrements ribbon admettent une représentation diagrammatique de type welded. Cela nous permet de donner une description combinatoire de l’invariant d’Alexander.

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  • En théorie des représentations, la notion d’irréductibilité est une des premières notions fondamentales que l’on rencontre. Un théorème ergodique de U. Bader et R. Muchnik, un analogue en quelque sorte du théorème de Birkhoff-von Neumann pour des représentations de groupes discrets agissant sur le bord d’un espace à courbure négative, équipé des densités de Patterson-Sullivan a pour conséquence immédiate l’irréductibilité de ces représentations.
    Nous présenterons un autre théorème ergodique à la Bader-Muchnik pour des classes de mesures généralisant les mesures de Patterson-Sullivan apparaissant dans le formalisme thermodynamique duquel nous déduisons l’irréductibilité de la représentation associée.

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  • Est-il possible de faire tourner plusieurs fois une image numérique sans
    perdre en qualité ? Dans cet exposé, on étudiera ce problème pour
    l’algorithme le plus naïf de rotation discrète : la discrétisation. Par
    définition, limage du point x par la discrétisation de l’application
    linéaire A\in Gl_n(R) est le point de Z^n le plus proche de Ax. Cela
    définit un endomorphisme  de Z^n, en général non injectif ; le défaut
    d’injectivité - i.e. la perte de qualité de l’image numérique - est mesuré
    par la densité de l’ensemble Â(Z^n).

    Cet exposé sera centré sur le théorème suivant :
    Lorsque la suite (A_k) est générique parmi les suites de matrices de
    déterminant 1, la densité des ensembles (Â_k o Â_k-1 o ... o A_1)(Z^n)
    tend vers 0 lorsque k tend vers l’infini.
    J’essaierai d’expliquer comment ce résultat peut être utilisé pour étudier
    les discrétisations de C^1-difféomorphisms génériques, et de donner
    quelques
    idées de sa preuve, qui utilise le formalisme des quasicristaux.

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  • La catégorie dérivée des faisceaux cohérents d’une variété projective lisse est souvent considérée comme un invariant algébrique très riche de cette variété. Les travaux de Bondal et Orlov montrent par exemple que deux variétés projectives dont les catégories dérivées sont équivalentes ont même anneau (anti)-canonique. La catégorie dérivée encode donc des informations birationnelles importantes. On pourrait se demander si elle contient des informations de nature topologique ou analytique. On souhaiterait par exemple savoir si deux variétés dont les catégories dérivées sont équivalentes ont même nombres de Hodge.
    Dans cet exposé, je ferai un état de l’art rapide lié a cette question et je développerai quelques résultats que j’ai obtenus et qui suggèrent qu’une certaine sous-algèbre de l’algèbre de Hodge est invariante par équivalence dérivée. La définition de cette algèbre s’étend au cadre non-commutatif et sa construction permet d’obtenir une grande partie de la structure de Hodge conjecturale d’une variété Calabi-Yau de dimension 3 non-commutative.

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  • Un résultat classique de Beauville montre que l’action de la multiplication par n sur le groupe de Chow d’une variété abélienne est semisimple et avec un nombre fini de valeurs propre explicites. La méthode de Beauville se base sur une transformée de Fourier.

    Nous généralisons ce résultat aux schémas en groupes commutatifs (variétés semiabéliennes, modèle de Néron de variétés abéliennes, variétés de Shimura mixtes...). La transformée de Fourier ne semble pas se généraliser à ce cadre. Nous montrerons que les motifs sont un outil adapté à ce problème. Il s’agit d’un travail avec Annette Huber et Simon Pepin Lehalleur

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  • Considérons un système Hamiltonien complexe. On peut le linéariser le long d’une solution afin d’obtenir les équations variationnelles. A chacune de ces dernières, on peut associer un groupe, le groupe de Galois différentiel, qui mesure les relations algébriques entre les solutions de l’équation variationnelle correspondante. Le théorème de Morales-Ramis-Simo nous dit que si le système Hamiltonien est intégrable, alors les algèbres de Lie des groupes de Galois sont abéliennes. Nous verrons dans cet exposé comment vérifier en pratique l’abélianité des algèbres de Lie.

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  • En 1967, J. Moser établit un remarquable théorème de forme normale pour des perturbations analytiques de champs de vecteurs analytiques possédant un tore invariant réductible quasi-périodique de fréquences Diophantiennes.
    A partir de cette forme normale, dans des cas particuliers issus de la mécanique hamiltonienne et de ses versions dissipatives issues de la mécanique céleste, on montre l’existence de formes normales particulières remarquables : "à la Herman" et "à la Rüssmann".
    De ces formes normales, il est possible de déduire des résultats de type KAM si le système considéré dépend d’une ’’bonne façon’’ d’un nombre suffisant de paramètres – internes ou externes au système. Le résultat de persistance est ainsi obtenu à partir d’une technique d’élimination de paramètres, mise au point par Herman, Rüssmann et d’autres auteurs dans les années 80-90.

    Dans le cadre "géométrique" ainsi construit, le problème spin-orbite dissipatif en Mécanique Céleste (présenté récemment par différents auteurs dont Celletti-Chierchia et Locatelli-Stefanelli), est traité plus aisément : déduire la persistance d’attracteurs quasi-périodiques devient un cas particulier de petite dimension. En outre, le processus d’élimination des paramètres met en relief des relations entre dissipation, fréquence et perturbation propres au système spin-orbite, et ouvre la voie à une étude plus globale dans l’espace des paramètres sur la persistance de différents types de mouvements aux perturbations.

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  • Les flots de Cherry sont des flots lisses sur le tore bidimensionnel qui ont deux singularités. En raison de leur riche dynamique ils ont attiré l’attention d’un grand nombre de chercheurs pendant de nombreuses années.
    La fonction de premier retour joue un rôle fondamental dans leur étude. Il s’agit d’une fonction C^2 du cercle qui a un intervalle plat. Dans mon exposé, j’examinerai les récents développements dans la compréhension de la dynamique générée par ces fonctions.
    Je me concentrerai particulièrement sur les fonctions avec nombre de rotation de type non borné.
    En suivant ce procédé, je déduirai les propriétés métriques, ergodique et topologique de flots de Cherry qui me conduiront à la résolution de plusieurs conjectures.

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  • Cet exposé présente les résultats de [Dem16]. Nous introduisons une classe d’algèbres de dimension finie provenant des triangulations partielles de surfaces marquées (une triangulation partielle est un sous-ensemble d’une triangulation).
    Cette classe contient les algèbres jacobiennes des triangulations de surfaces marquées [DWZ08, LF09] et les algèbres de graphes de Brauer [WW85]. Nous généralisons certaines propriétés qui sont connues ou partiellement connues pour les algèbres de graphes de Brauer et les algèbres jacobiennes de surfaces marquées. En particulier, ces algèbres sont symétriques pour les surfaces sans bord, elles sont de type de représentation fini ou apprivoisées et nous introduisons une généralisation combinatoire des flips ou mouvements de Kauer sur les triangulations partielles qui induit (dans presque tous les cas) des équivalences dérivées entre les algèbres correspondantes. De plus, nous donnons une formule explicite calculant la dimension de ces algèbres.

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  • Nous cherchons les métriques sur le tore $\T2$ qui
    sont de "complexité minimale". Dans cet exposé, nous nous intéressons à la
    complexité "dynamique" des métriques, c’est-à-dire l’entropie du flot
    géodésique qui leur est associé. Nous verrons d’abord que l’entropie
    usuelle (topologique) peut s’annuler pour des systèmes géodésiques de
    complexités a priori non équivalentes sur pour des systèmes géodésiques de
    complexités a priori non équivalentes sur $\T^2$ : par exemple les tores
    plats et les tores de révolution. Nous utilisons donc un outil plus fin
    - l’entropie polynomiale - pour détecter les métriques de complexité
    minimale. Nous montrons que celles-ci sont exactement les métriques plates.
    C’est un travail en collaboration avec Patrick Bernard

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  • Dans cet exposé je vais décrire les espaces des modules des variétés irréductibles holomorphes symplectiques polarisées par un réseau. En particulier, on s’intéressera aux exemples des variétés de type K3^[2] polarisées par une classe ample ou par le réseau invariant d’un automorphisme non symplectique d’ordre premier. Enfin, j’expliquerai une construction de symétrie miroir parmi ces espaces des modules.

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  • Les groupes localement discrets doivent être pensés comme des analogues en dimension infinie
    (des sous-groupes) des réseaux. Sous l’hypothèse de régularité analytique, on cherche à les classifier entièrement.

    L’étude des groupes qui ne sont pas localement discrets est déjà à un niveau avancé, à la suite des travaux
    de Shcherbakov, Nakai, Loray et Rebelo. De l’autre coté, d’après une série de travaux par Deroin, Filiminov, Kleptsyn
    et Navas, et un plus récent par Alvarez, Filimonov, Kleptsyn, Malicet, Meniño, Navas et moi-même, on conjecture
    qu’un groupe localement discret est analytiquement conjugué à une extension centrale d’un groupe fuchsien, ou
    virtuellement libre. En outre on donne une classification topologique complète des actions des groupes de
    difféomorphismes analytiques du cercle qui sont localement discrets et virtuellement libres. En particulier, on décrit
    des exemples qui ne sont pas analytiquement conjugués à une action de type fuchsien, c’est qui était inattendu :
    en première conjecture, assez naturellement, on croyait que toute action localement discrète est analytiquement
    conjuguée à une action fuchsienne.

    Les techniques employées mêle la théorie des groupes (théorie de Stallings) à la dynamique (contrôle de distorsion).
    Ces résultats sont en fait motivés par l’étude des propriétés ergodiques des feuilletages de codimension 1, en particulier
    par des questions dues à Ghys, Sullivan et Hector sur le lien entre minimalité et ergodicité.

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  • Je présenterai le résultat suivant obtenu en collaboration avec
    Andreas Höring : soit $X$ une variété de Fano, lisse et telle que
    $-K_X \cdot C \geq \dim X$ pour toute courbe rationnelle $C \subset
    X$. Alors $X$ est un espace projectif ou une hypersurface
    quadrique.

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  • Travail en collaboration avec X. Buff, R. Dujardin, H. Peters et J. Raissy
    Si f : M -> M est une application holomorphe et M est une variété complexe compacte, l’ensemble de Fatou est le plus grand ouvert sur lequel la famille des itérées de f est localement équicontinue. C’est un ouvert totalement invariant où la dynamique de f est stable en un certain sens. Un célèbre théorème de Sullivan affirme que si M est la sphère de Riemann P1(C), alors toute composante de Fatou est prépériodique. La question de savoir si une application holomorphe f : P^k(C) -> P^k(C) (k>1) peut avoir une composante de Fatou errante (non-prépériodique) a été posée dans les années 90 ; il s’avère que la réponse est positive. On présentera une construction d’exemples dès la dimension 2.

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  • Cet exposé est à propos d’un travail en cours avec Jérémy Blanc (Bâle) et Andrea Fanelli (Bâle). Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l’espace projectif complexe de dimension n. Ce groupe n’est pas algébrique dès lors que n>1, mais on peut espérer (au moins lorsque n est petit) classifier ses sous-groupes connexes algébriques maximaux.

    En dimension 2, la classification est ancienne et bien connue (F. Enriques, 1893). En dimension 3, la première étude rigoureuse fût effectuée par H. Umemura dans les années 1980 dans une série de cinq papiers (plutôt longs et techniques).

    Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut espérer redémontrer les résultats d’Umemura d’une façon beaucoup plus simple et géométrique à l’aide (d’un usage élémentaire) de la théorie de Mori. Je terminerai en discutant plusieurs généralisations possibles des résultats d’Umemura via cette nouvelle approche.

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  • Nous construisons un invariant topologique des courbes algébriques qui est, en un sens, une adaptation des nombres d’enlacement de la théorie de noeud. Comme application, nous montrons que cet invariant détecte un nouvelle paire de Zariski de courbes (ie une paire de courbes ayant la même combinatoire mais des topologies différentes) ; ainsi qu’une paire de Zariski d’arrangement de droites. De plus, ce dernier exemple fourni le premier exemple de paire arithmétique de Zariski ayant des groupes fondamentaux non isomorphes.

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  • Les arrangements d’hypersurfaces sont des objets géométriques qui ressemblent localement à des arrangements d’hyperplans, et généralisent les diviseurs à croisements normaux. Leur étude est une version globale de l’étude classique des arrangements d’hyperplans, due à Arnold, Brieskorn et Orlik—Solomon, et mêle géométrie et combinatoire. Dans cet exposé on introduira des outils pour calculer les groupes de cohomologie associés aux arrangements d’hypersurfaces, et prouver des résultats de formalité.

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  • Nous étudions les germes de type Dulac, c’est-à-dire des applications premier retour dans un voisinage d’un polycycle hyperbolique. Nous allons décrire la réduction à une forme normale formelle pour ce type de germes.

    Plus généralement, nous travaillons dans une classe de transseries de type puissance-logarithme, à laquelle les germes de Dulac appartiennent, et qui est fermée par rapport aux changements de variables nécessaires pour la réduction. Nous donnons aussi un théorème de plongement formel dans des champs de vecteurs dans la même classe.

    Nous expliquons la motivation provenant de l’analyse fractale.

    Cet exposé se base sur un travail en commun avec Pavao Mardesic, Jean-Philippe Rolin et Vesna Zupanovic.

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  • Ce séminaire est sur la résolution des singularités des formes différentielles. Nous abordons le problème suivant : "Existe t-il une résolution des singularités $\sigma : X \to X_0$ (d’une variété algébrique ou analytique singulière $X_0$) tels que le tiré-en-arrière du faisceau cotangent de $X_0$ (i.e., le tiré-en-arrière des formes différentielles sur $X_0$) est localement engendré par des formes différentielles monomiales ?" Ce problème est lié : à la monomialisation des morphismes ; à la cohomologie $L^2$ des variétés ; et à la réduction des singularités des champs de vecteurs. Dans un travail en collaboration avec Bierstone, Grandjean et Milman, nous donnons une réponse positive quand $dim X_0 \leq 3$.

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  • Récemment Brunella et McQuillan ont démontré certains d’entre les principaux résultats en géométrie birationnelle dans le cadre des feuilletages sur les surfaces.
    Dans cet exposé, après avoir donné définitions et résultats préliminaires, on examinera dans quelle mesure le théorème d’Invariance des Plurigenres est vrai pour des feuilletages sur les surfaces.
    Il s’agit d’un travail en collaboration avec Paolo Cascini.

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  • En commun avec Gaël Cousin.
    Le groupe PBn(S2) des tresses pures à n brins de la sphère agit naturellement sur les représentations de la sphère privée de n points. Gaël Cousin a montré que les orbites finies de telles actions fournissent des connections intéressantes sur des fibrés vectoriels au-dessus de variétés projectives. Motivés par ce résultat, nous considérons les représentations de la sphère privée de n points dans le groupe affine complexe. Je décrirai toutes les orbites finies de l’action du groupe PBn(S2) sur ces représentations.

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  • Travail en collaboration avec Clélia Pech et Michel Raibaut. Dans cet exposé, nous expliquerons la construction des invariants des cordes de Batyrev. Cet invariant, construit à partir de l’intégration motivique géométrique, fait correspondre à toute variété algébrique normale, Q-Gorenstein, et avec singularités log-terminales une classe virtuelle dans une modification de l’anneau de Grothendieck de la catégorie des variétés algébriques. Les variétés horosphériques de complexité 1 sont des variétés algébriques normales sur lesquelles un groupe réductif connexe opère avec un ouvert dense stable qui est une famille à un paramètre d’espaces homogènes ; ces derniers sont obtenus comme fibration en tores au dessus d’une variété des drapeaux. Nous présenterons, dans le contexte des variétés horosphériques de complexité 1, un résultat amenant à un calcul explicite de cet invariant et à la détermination de pôles candidats de sa forme rationnelle. Cela étend des travaux récents de Victor Batyrev et d’Anne Moreau sur les plongements des espaces homogènes horosphériques.

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  • En 1983, Margulis construisait les premiers exemples d’actions affines propres de groupes libres sur R^3. Je décrirai la géométrie et topologie des quotients correspondants, qui sont des variétés lorentziennes plates appelées espaces-temps de Margulis, ainsi que celle de leurs analogues en courbure négative, appelés variétés anti-de Sitter. J’expliquerai comment, en dimension supérieure, on peut étendre ces constructions pour obtenir des actions affines propres de n’importe quel groupe de Coxeter à angles droits. Il s’agit d’un travail en commun avec Jeffrey Danciger et François Guéritaud.

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  • Soient X une surface projective complexe et f : X -> X un automorphisme holomorphe dont l’entropie topologique est strictement positive. L’application f possède alors une unique mesure d’entropie maximale. Celle-ci peut s’obtenir comme l’intersection de deux courants d’Ahlfors faiblement laminaires. Nous montrons que si cette mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, alors f : X -> X est un exemple de Kummer généralisé : quitte à effectuer une modification rationnelle, X est une variété abélienne et f est un automorphisme linéraire de X. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Serge Cantat.

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  • Nous introduisons une famille remarquable d’éléments d’un groupe d’Artin-Tits associé à un groupe de Coxeter arbitraire. Dans le cas du groupe de tresses d’Artin classique, ces tresses sont exactement celles qui possèdent un diagramme réduit où l’on peut inductivement retirer un brin au-dessus de tous les autres. En type sphérique, il existe différentes caractérisations algébriques de ces éléments, qui deviennent non équivalentes en général. Une définition générale est tirée des travaux de Dyer et repose sur la théorie des ensembles de racines biclos. Les tresses mikado sont des relevés « tordus » d’éléments du groupe de Coxeter dans le groupe d’Artin et jouissent à ce titre de diverses propriétés similaires à celles des éléments du groupe de Coxeter (comme une version du lemme de Matsumoto).

    Après avoir défini ces éléments et fait un tour d’horizon de leurs propriétés, nous évoquerons d’une part le lien avec les éléments simples des monoïdes de tresses duaux (travail en commun avec F. Digne) et la combinatoire de Coxeter-Catalan, d’autre part les propriétés remarquables des images de ces éléments dans l’algèbre de Hecke correspondante : lorsqu’on exprime une telle image dans la base canonique de l’algèbre de Hecke, les coefficients sont des polynômes à coefficients positifs. Ceci est une conséquence de la « linéarité » du complexe de Rouquier associé à ces tresses (conjecturale en générale, prouvée lorsque l’ensemble biclos provient d’un ensemble d’inversion d’élément ou de son complément), un certain complexe de bimodules de Soergel qui catégorifie les tresses en question. Cette propriété apparaît comme une conséquence de la conjecture de Soergel récemment prouvée par Elias et Williamson et l’existence de filtrations géométriques tordues de bimodules de Soergel.

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  • Les formules de Thomae permettent de définir explicitement la jacobienne d’une courbe en fonction de l’équation de cette dernière. Ces formules sont classiques pour les courbes hyperelliptiques mais le cas du genre 3 non hyperelliptique, dû à Weber, n’est pas très connu. Nous donnons ici une nouvelle démonstration de cette formule. Travail en commun avec Enric Nart

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  • Les modèles de Landau-Ginzburg permettent de relier entre elles les variétés de Calabi-Yau X et X* de dimension d qui font l’objet de la dualité miroir :
    h^ p,q(X)=h^d-q,p.
    Classiquement ils se présentent comme une singularité isolée déterminée par le cône associé à une hypersurface de Calabi-Yau dans un espace projectif. Ici on présente des versions hybrides fibrées en singularités le long d’une variété de base.
    Nagel et moi-même avons montré un théorème de correspondance entre ces modèles hybrides et les intersection complètes de type Calabi-Yau. Ces modèles permettent un nouvel approche de la dualité miroir. Kalashnikov, Veniani et moi-même avons montré, par exemple, comment les modèles hybrides produisent une version généralisée, en dimension quelconque, de la symétrie miroir de Borcea-Voisin.

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  • L’importance de l’algèbre de Yokonuma—Hecke (associée au groupe réductif GL) pour des considérations topologiques est maintenant bien établie.
    Dans cet exposé,
    je rappellerai son origine et expliquerai la construction d’une version affine, ainsi que son interprétation topologique.
    Ensuite, je présenterai un théorème d’isomorphisme
    qui exprime l’algèbre de Yokonuma—Hecke en termes de l’algèbre de Hecke usuelle, et je donnerai, comme application, une classification des traces de Markov.
    Ce sont des travaux en commun avec Maria Chlouveraki et Nicolas Jacon.

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  • Considérons des polygones dont les côtés sont parallèles à deux vecteurs fixés. Gutkin et Katok ont montré que pour toute direction fixée θ il existe un ensemble Gδ-dense de polygones pour lesquels le billar est faiblement mélangeant en direction θ. Dans cet exposé je vais présenter une généralisation de leur argument qui permet d’obtenir le mélange faible dans un ensemble Gδ-dense de mesure totale de directions pour un polygone générique. Je conclurai alors par une application à la multiple ergodicité du modèle du vent à arbre (Wind-Tree). C’est un travail en collaboration avec Serge Troubetzkoy.

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  • Motivé par les conjectures de Bloch-Beilinson, on formule une propriété conjecturale de type « Lefschetz difficile » pour les groupes de Chow d’une variété algébrique projective complexe. On donnera quelques exemples où cette propriété conjecturale peut être vérifiée, en utilisant notamment la théorie des « motifs de dimension finie » de Kimura/O’Sullivan. Tous ces concepts seront présentés et expliqués pour les non-spécialistes.

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  • Nous étudions les chaînes de Markov qui proviennent d’actions préservant la mesure de groupes libres de type fini sur un espace de probabilité. L’ensemble des générateurs d’un groupe libre est muni d’une structure de chaîne de Markov généralisée. Sous des conditions faibles (données par des inégalités) sur la matrice stochastique P qui définit la chaîne, nous prouvons la convergence des moyennes sphériques. Jusqu’ici, cette convergence n’était connue que pour les chaînes de Markov symétriques (données par des égalités) ; maintenant elle est établie sur un ouvert de l’espace des matrices stochastiques.

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  • Un revêtement ramifié de Klein est un revêtement de S3 ramifié sur un graphe trivalent colorié, qui généralise les revêtements doubles ramifiés sur les noeuds. C’est un invariant des graphes plongés dans S3.
    On en présentera quelques propriétés et on verra notamment comment certains mouvements locaux sur les graphes s’interprètent en terme de chirurgie sur le revêtement de Klein.

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  • On étudie les complexifications topologiquement minimales du plan affine euclidien R² à isomorphisme près et à difféomorphismes birationnels près.
    Un faux plans réel est une surface géométriquement intègre non singulière définie sur R telle que :
    • Le lieu réel S(R) est difféomorphe à R² ;
    • La surface complexe S_C(C) a le type d’homologie rationnelle de A²_C(C). ;
    • S n’est pas isomorphe à A²_R en tant que surface définie sur R.
    L’étude analogue dans le cas compact, c’est-à-dire la classification des complexifications du plan projectif réel P²(R) possédant l’homologie rationnelle du plan projectif complexe est bien connue : P²_C est l’unique telle complexification.
    Nous prouvons que les faux plans réels existent en donnant plusieurs exemples et nous abordons la question : existe-t-il un faux plan réel S tel que S(R) n’est pas birationnellement difféomorphe à A²_R(R) ?
    (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)

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  • Je présenterai quelques avancées récentes autour du
    groupe d’automorphismes des schémas de Hilbert de points sur
    une surface algébrique complexe. Je parlerai en particulier
    de leurs propriétés algébriques, topologiques et géométriques.

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  • Avec Serge Cantat, nous employons des méthodes d’analyse p-adique pour étudier
    les groupes d’automorphismes et de transformations birationnelles des variétés
    quasi-projectives. En particulier, nous démontrons une version birationnelle de la conjecture de Zimmer c-à-d si SLn(Z) agit fidèlement par transformations birationnelles sur une variété complexe quasiprojective X, alors dim(X)>=n-1, et X est rationnelle en cas d’égalité.

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  • Les polynômes de Links-Gould LG^m,n(t_0,t_1) sont des invariants d’entrelacs polynomiaux à deux indéterminées. Chacun d’entre eux est dérivé d’une représentation de plus haut poids du supergroupe quantique U_q(gl(m|n)).
    En 2005, De Wit, Ishii et Links ont montré que le polynôme d’Alexander-Conway d’un entrelacs pouvait être obtenu comme spécialisation de certains polynômes de Links-Gould. Je mettrai en évidence une seconde spécialisation qui permet d’obtenir des puissances du polynôme d’Alexander, en exprimant les représentations des groupes de tresses associées aux R-matrices de LG^m,n en fonction des représentations de Burau.
    Ces spécialisations et des calculs sur les valeurs des Links-Gould pour les petits noeuds premiers laissent penser que, tout comme le polynôme d’Alexander, le polynôme de Links-Gould devrait avoir une interprétation classique.

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  • It has been classically known that the general principally
    polarized abelian variety of dimension at most five is a Prym variety.
    This reduces the study of abelian varieties of small dimension to the
    beautifully concrete and rich theory of algebraic curves. It is also known
    that no such concrete description can exist for dimension seven or higher.
    I will discuss decisive recent progress on finding a structure theorem for
    principally polarized abelian varieties of dimension six, and the
    implications this uniformization result has on the geometry of their
    moduli space.

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  • Dans cet exposé nous parlerons des petites déformations des champs de vecteurs hamiltoniens. Plus précisément, nous nous intéresserons aux déformations qui préservent, à premier ordre, les orbites périodiques.

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  • We discuss several examples of surfaces with $p_g=q=2$ and maximal Albanese dimension that are endowed with an irrational fibration. This is a joint work with M. Penegini.

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