MASTERAPP

1. Compléments d'analyse. Intégrales de type Cauchy, Formules de Sokhotski-Plemelj. Applications de la théorie des résidus aux fonctions multivalentes. Intégration de résolvante de matrice dans le plan complexe et forme canonique de Jordan
2. Méthodes asymptotiques: méthode de Laplace et méthode de la phase stationnaire. Formule de Stirling pour la fonction gamma
3. Théorie élémentaire des distributions.
4. Équations intégrales de Fredholm et de Volterra. Applications aux problèmes de Sturm-Liouville.
5. Espaces de Banach, théorèmes de Banach et de Banach Steinhaus, théorème du graphe fermé Espaces Lp et leur duaux.
6. Théorie spectrale des opérateurs linéaires dans les espaces de Banach et d'Hilbert : opérateurs  compacts, partition d'unité  et Théorème spectral d'Hilbert.
7. Transformation de Fourier discrète et continue. Décomposition spectrale de  la transformation de Fourier. Formule de sommation de Poisson. Transformation de Fourier de distributions. Solution du problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur et pour l'équation de Schrödinger non stationnaire dans le vide.
8. Éléments de théorie spectrale des opérateurs non bornés.

1. Éléments de théorie des ensembles. Axiome du choix, Lemme de Zorn, entiers.
2. Produit tensoriel d'espaces vectoriels. Isomorphismes canoniques, produit tensoriel de matrices. Algèbre tensorielle.
3. Théorie élémentaire des distributions.
4. Compléments de théorie des anneaux, des corps et des algèbres. Algèbre symétrique, algèbre de polynômes, fonctions polynômiales, polynômes symétriques.
5. Séries formelles, application à la combinatoire.
6. Algèbre extérieure, algèbre de Grassmann, déterminants.
7. Introduction à la théorie des modules. Modules sur les anneaux principaux, application à la théorie des matrices.
8. Modules et anneaux semi-simples , algèbres semi-simples. Application aux représentations des groupes finis.

La première partie du cours est une étude des courbes et surfaces dans l'espace du point de vue métrique. La deuxième partie est une introduction aux variétés abstraites.

1. Rappels de calcul différentiel. Sous-variétés de Rn.
2. Courbes dans l'espace : courbure, torsion, trièdre de Frenet, théorème fondamental.
3. Surfaces dans l'espace : définition, exemples, paramétrages, première forme fondamentale, isométries locales.
4. Application de Weingarten, deuxième forme fondamentale, courbure de Gauss, théorème egregium.
5. Géodésiques sur les surfaces.
6. Variétés abstraites : définitions, exemples.
7. Vecteurs tangents et fibré tangent.
8. Partitions de l'unité et métrique Riemannienne.

Les probabilités sont à la base de la théorie des processus et des statistiques inférentielles. Ce cours présente les fondements de la théorie, il s'adresse également aux étudiants des autres spécialités du Master de Mathématiques. Il est recommandé d'avoir suivi un cours de probabilité de niveau licence.

1. Compléments de Théorie de la Mesure.
2. Transformation de Fourier, fonctions caractéristiques, fonctions génératrices.
3. Espaces de probabilités, indépendance, conditionnement.
4. Théorèmes de convergence : loi forte des grands nombres, théorème de la limite centrale. Applications : méthode de Monte-Carlo,…
5. Espérance conditionnelle.
6. Exemples de processus : martingales, marches aléatoires, etc.

1. Introduction.
2. Équations quasi-linéaires du premier ordre (caractéristiques).
3. Équations quasi-linéaires du second ordre (forme canonique en 2 dimensions).
4. Méthode de séparation de variables (séries de Fourier, transformée de Fourier)
5. Analyse spectrale, théorie de Sturm-Liouville
6. Calcul des variations (équations comme une solution du problème d'énergie stationnaire).
7. Fonctions harmoniques, représentation des solutions de l'équation de Poisson en termes de la solution fondamentale.
8. Équation de la chaleur, représentation des solutions en termes de la solution fondamentale.
9. Equation de l'onde (formules de Kirchhoff et Poisson).
10. Solutions faibles (espaces de Sobolev).

Le but de ce cours est d'utiliser les outils introduits dans M3 au développement d'applications importantes préparant de manière utile la deuxième année. Ce module est également utile à un étudiant désirant préparer ultérieurement l'agrégation.

1. Groupes Classique (Linéaires, Orthogonaux, Unitaires, etc…).
2. Groupe Fondamental, Application à la classification des surfaces.
3. Complément sur les polynômes, Résultants. Application au contour apparent.
4. Courbes Algébriques. Étude des Coniques et des Cubiques.
5. Fonctions P de Weierstrass – Paramétrisation des cubiques – Structure de groupe des cubiques.

Ce cours couvre une partie du programme d'algèbre du concours d'agrégation. Il est divisé en deux parties.

1. Polynômes.
2. Extensions de corps.

1. Cinématique: espace de configurations, fibré tangent, contraintes, espace de configuration pour un solide, etc.
2. Principe de moindre action; calcul de variations, équations d'Euler-Lagrange.
3. Symétrie des problèmes mécaniques; groupe de symétrie d'un lagrangien; groupes de symétrie typiques; théorème de Noether; les intégrales premières classiques.
4. Transformation de Legendre. Équations de Hamilton. Éléments de la géométrie symplectique.
5. Théorie de Hamilton-Jacobi. Théorème de Liouville. Les variables action-angle.
6. Mécanique relativiste; les groupes de Lorentz et de Poincaré.
7. Description d'un système en mécanique quantique. Algèbre d'observables. Etats d'un système quantique.
8. Modèle de mécanique quantique en dimension finie. Le rôle du théorème spectrale. Interprétation probabiliste. Principe d'incertitude de Heisenberg. Systèmes de plusieurs particules. La notion de statistique.
9. Évolution en mécanique quantique. Tableaux de Heisenberg et de Schroedinger.
10. Groupes de symétrie en mécanique quantique. Éléments de la théorie de représentations. Moment angulaire en mécanique quantique. Représentations du groupe de rotations; représentations projectives.
11. Éléments de la théorie de l'équation de Schroedinger.

Le but de ce cours est d'apporter une réflexion distanciée sur ce qui a été vu jusque là, à travers quelques thèmes importants qui ont été développés sur une durée historique assez longue. Cette démarche nous paraît utile pour de futurs enseignants. Les thèmes sont en partie renouvelés chaque année. Les notions importantes sont présentées en se basant sur l'étude de textes d'époque. On dégage le sens mathématiques du texte et sa traduction en langage moderne, pour ensuite le replacer dans un contexte, étudier la rigueur des démonstrations et éventuellement reconnaître les prémices d'une notion développée plus tard.

1. Chaque étudiant effectue un travail personnel sur un texte, avec exposé.

UE est destinée aux futurs enseignants. Elle propose un apprentissage actif de l'enseignement des Mathématiques. Le niveau est celui du CAPES de Mathématiques. Cette UE est sous la responsabilité de l'I.U.F.M. de Dijon.

1. Introduction à la notion de dimension en géométrie algébrique
2. Courbes algébriques :
• Notions de géométrie projective
• Courbes planes (critères de lissité, Théorèmes de Bézout, Théorème de Noether)
• Exemples (Courbes elliptiques et hyperelliptiques, courbes singulières)
3. Surfaces algébriques
• Exemples de surfaces algébriques
• Notion d'éclatement et application à la désingularisation des courbes

Référence

1. D. Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction, Savoirs Actuels. InterEditions, Paris; CNRS Editions, Paris, 1995.
2. W. Fulton, Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry, Reprint of 1969 original. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.
3. R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, Graduate Studies in Mathematics, 5. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.
4. P. A. Griffiths, Introduction to algebraic curves, Translations of Mathematical Monographs, 76. American Mathematical Society, Providence, RI, 1989

1. Notion de variété algébrique abstraite
2. Élements de théorie des faisceaux
3. Formes différentielles sur les variétés algébriques, lissité
4. Diviseurs et fibrés en droites
5. Introduction à la cohomologie des faisceaux
6. Applications à l'étude des courbes et des surfaces
7. Théorème de Riemann-Roch et application à l'étude des courbes
8. Élements de classification des surfaces projectives lisses

Références

1. D. Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction, Savoirs Actuels. InterEditions, Paris; CNRS Editions, Paris, 1995.
2. I.R. Shafarevich, Basic algebraic geometry I & II, Springer Verlag
3. D. Mumford, The Red book of varieties and schemes, LNM 1358, Springer Verlag
4. R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer Verlag