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Dijon, du 31 août au 11 septembre 2009 |
| L'étude de
variétés complexes
générales (i.e. pas
forcément projectives ni kählériennes)
en familles
et non pas seulement comme
objets isolés prend toute son importance et
révèle
toute sa richesse lorsqu'on donne au terme "familles" un sens
généralisé, incluant aussi bien les
familles
à paramètres de
sous-variétés d'une
variété fixée, les familles de
déformations
au sens de Kodaira-Spencer, les feuilletages et laminations, ou encore
les familles de structures géométriques sur une
variété donnée. Paradoxalement, on constate alors que, durant les dernières décennies, plus de résultats ont été découverts pour des familles que pour les objets isolés. Il suffit de songer à l'évolution des connaissances sur les feuilletages holomorphes et les laminations par surfaces de Riemann. Mais dès qu'on parle de famille, on est confronté à des problèmes souvent très difficiles d'uniformisation. Basiquement, il s'agit de comprendre quand deux familles, dont les éléments sont ponctuellement isomorphes, sont isomorphes. Le but de cette école d'été est de présenter certains résultats et techniques liés à l'étude de familles et aux problèmes d'uniformisation qui en découlent. |
L'école d'été est financée par le projet ANR "COMPLEXE", l'école doctorale Carnot et l'I.M.B. |
Programme Affiche Participants Informations Information (english) |
| Programme L'école dure deux semaines. Chaque semaine sont prévus trois cours de huit heures chacun.
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| Première
semaine : Sorin Dumitrescu (Orsay) : "Structures géométriques rigides" Résumé : Dans ce cours on étudiera les structures géométriques rigides dans le sens de Gromov. Une telle structure est caractérisée par le fait qu'un difféomorphisme local qui la préserve est déterminé par un jet d'ordre fini, ce qui implique que le pseudo-groupe des difféomorphismes locaux préservant la structure est de dimension finie. Ceci est le cas, par exemple, pour les connexions affines. On démontrera des résultats d'uniformisation locale et globale pour des structures géométriques holomorphes rigides sur des variétés complexes compactes. Notes de cours Philippe Eyssidieux (Grenoble) : "Le problème de Shafarevich" Résumé : Dans ce cours, on étudiera le revêtement universel d'une variété kählérienne compacte à l'aide des techniques de la théorie de Hodge non-abélienne. On présentera en particulier les techniques fondamentales: fibrés de Higgs, Variations de Structure de Hodge (selon Simpson), applications pluriharmoniques vers de immeubles (selon Gromov-Schoen). Ensuite, le cours portera sur les progrès récents sur la conjecture de Shafarevich de convexité holomorphe et si, le temps le permet, discutera des principaux problèmes ouverts dans cette direction, liés à la variation en famille des morphismes de Shafarevich. Notes de cours Laurent Meersseman (Dijon) : "Feuilletages par variétés complexes et problèmes d'uniformisation" Résumé : Ce cours est une introduction aux feuilletages par variétés complexes, c'est-à-dire aux feuilletages lisses tangentiellement holomorphes d'une variété différentiable. Le point de vue est celui des structures géométriques sur une variété. Les exemples classiques incluent les familles différentiables de déformations de variétés compactes complexes au sens de Kodaira-Spencer, les hypersurfaces Levi-plates dans les variétés complexes et tous les feuilletages orientés de codimension un des variétés réelles de dimension trois. Mais il existe aussi des exemples plus exotiques comme un feuilletage de la sphère de dimension 5 par surfaces complexes. Après avoir décrit certains de ces exemples, on se concentrera sur quelques résultats d'uniformisation dans le cas classique des déformations (théorème de Fischer-Grauert) et dans le cas de feuilletages plus compliqués. Notes de cours |
| Deuxième
semaine : Marco Brunella (Dijon) : "Uniformisation de feuilletages et feuilles entières" Résumé : On considère un feuilletage (holomorphe, singulier, unidimensionnel) sur une variété projective complexe, et on s'interesse au problème de décrire et structurer l'ensemble des points de la variété par lesquels il passe une courbe entière tangente au feuilletage (i.e., une feuille entière). Cela conduit à étudier l'uniformisation simultanée des feuilles du feuilletage, et ses propriétés de convexité holomorphe. Notes de cours Alexei Glutsyuk (ENS Lyon) : "laminations par surfaces de Riemann et applications en dynamique" Résumé : In 1985 D.Sullivan had introduced a dictionary between two domains of complex dynamics: iterations of rational functionsand Kleinian groups (both acting on the Riemann sphere). This dictionary motivated many remarkable results in both domains, starting from the famous Sullivan's no wandering domain theorem in the theory of rational iterations. One of the principal objects used in the study of Kleinian groups is the hyperbolic 3- manifold associated to a Kleinian group, which is the quotient of its isometric action on the hyperbolic 3- space. M.Lyubich and Y.Minsky have suggested to extend Sullivan's dictionary by providing an analogous construction for iterations of rational functions: (orbifold) hyperbolic laminations. They are constructed from the backward orbit space. The nonbijective action of the rational function lifts up to a bijective leafwise-isometric action on the corresponding hyperbolic lamination. The quotient of the latter action is a nice space (called the quotient hyperbolic lamination). The covering hyperbolic 3- space of each leaf has a canonical marked point "infinity" at its boundary. The horospheres passing through infinity (i.e., the horizontal planes) induce horospheric lamination of the quotient. The horospheric lamination is the unstable lamination for the vertical geodesic flow on the laminated space. Recent studying the hyperbolic 3- manifolds associated to Kleinian groups resulted in solutions of all big problems in the theory. There is a hope that studying the hyperbolic laminations associated to rational functions would imply important dynamical corollaries. The minicours will start with the introduction to the hyperbolic geometry, complex dynamics and laminations. Afterwards we will present some results on topological transitivity and unique ergodicity of horospheric laminations. Notes de cours Marcel Nicolau (UAB Barcelone) : "Déformations de feuilletages" Résumé : Dans ce cours, nous rappellerons la théorie des déformations des variétés complexes ainsi qu'elle a été introduite par Kodaira et Spencer, puis nous expliquerons comment l'appliquer à l'étude des déformations de feuilletages holomorphes et transversalement holomorphes sur une variété compacte. Nous décrirons les aspects formels de la théorie et donnerons une preuve de l'existence d'un théorème de Kuranishi sur l'existence d'un espace versel de déformations. Nous utiliserons aussi bien les méthodes issues de la théorie du potentiel que celle dite des "power series". Enfin, nous nous concentrerons sur l'étude de cas particuliers comme les feuilletages donnés par des actions localement libres de groupes de Lie. Notes de cours |
| Renseignements :
laurent.meersseman@u-bourgogne.fr |