\documentclass[12pt]{article} \usepackage{french,amssymb,amsmath,amscd} \usepackage[dvips]{graphicx} \newcommand{\ea}{\'{e}} \newcommand{\eg}{\`{e}} \newcommand{\ag}{\`{a}} \newcommand{\ug}{\`{u}} \newcommand{\g}{\mathfrak{g}} \newcommand{\D}{\mathfrak{D}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \newcommand{\image}{\text{Im}} \newcommand{\Nmath}{\mathbb{N}} \newcommand{\kmath}{\Bbbk} \newcommand{\Rmath}{\mathbb{R}} \newcommand{\Qmath}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Smath}{\mathbb{S}} \newcommand{\Rp}{{\mathbb{R}}^p} \newcommand{\Cmath}{\mathbb{C}} \newcommand{\Zmath}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Tmath}{\mathbb{T}} \newcommand{\e}{\text{exp }} \leftmargin 3cm \voffset 0cm \hoffset 0cm \headsep 0cm \headheight 0cm %\topmargin 3cm \textheight 234mm %\footskip 0cm \title{\textbf{Cohomologie des Groupes et Alg\eg bres de Lie; l'Hypoth\eg se de Riemann pour la Cohomologie Triviale des Alg\eg bres de Lie Nilpotentes}} \author{Louis MAGNIN, Universit\ea \ de Bourgogne\\ \small{Email: \texttt{magnin@u-bourgogne.fr}}} \date{} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} On pr\ea sente d'abord les diff\ea rentes notions d'homologie et de cohomologie pour les groupes de Lie avec leurs relations, puis on introduit l'hypoth\eg se de Riemann sur la spectralit\ea \ du tore maximal dans la cohomologie \ag \ valeur complexe des alg\eg bres de Lie nilpotentes. \end{abstract} \setcounter{page}{37} \section*{Introduction} Chacun de nous conna\^{\i}t au moins deux r\ea sultats qui sont des r\ea sultats homologiques. \begin{itemize} \item La fameuse \textit{relation d'EULER} pour les poly\eg dres convexes de $\Rmath^{3}$: si $S, A, F$ d\ea signent respectivement le nombre de faces, d'ar\^{e}tes et de sommets , on a: $$S - A + F = 2.$$ \item Le \textit{Th\ea or\eg me des R\ea sidus} pour les fonctions d'une variable complexe. \end{itemize} \setcounter{section}{0} \section{Homologie} \subsection{C'est quoi ?} \subsubsection{$p$-simplexe standard de ${\Rmath}^p$} Soit $p \geqslant 1$ et $e_{1}^{p} = \begin{pmatrix} 1\\0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , e_2^{p} = \begin{pmatrix} 0\\1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , e_p^{p} = \begin{pmatrix} 0\\0\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $ les vecteurs de la base canonique de ${\Rmath}^p$. On appelle \textit{$p$-simplexe standard} de $\Rp$ l'enveloppe convexe $\Delta_p$ de $\{e_1^p,\ldots,e_p^p\} \cup \{0\}:$ $$\Delta_p = \{ x = \sum _{i=1}^{p} \lambda_i e_i^p \; ; \lambda_i \geqslant 0 \; \forall i \; ; \sum_{i=1}^{p} \lambda_i \leqslant 1\, \}$$ Si l'on note $e_0^p$ le vecteur nul, on a: $$\Delta_p = \{ x = \sum _{i=0}^{p} \lambda_i e_i^p \; ; \lambda_i \geqslant 0 \; \forall i \; ; \sum_{i=0}^{p} \lambda_i = 1\, \}.$$ $e_0^p,\ldots,e_p^p$ sont les \textit{sommets} de $\Delta_p$. Pour $p = 0$, on pose $\Rmath^0 = \{0\} , e_0^0 = 0$, et $\Delta_0 = \{e_0^0\}.$ %\begin{center} %\begin{figure} %\includegraphics*{cohomuefig1.eps} %\end{figure} %\end{center} \subsubsection{$p$-simplexe singulier d'un espace topologique X} On appelle \textit{$p$-simplexe singulier} d'un espace topologique $X$ une application continue $\sigma : \Delta_p \rightarrow X$. (Le mot "singulier" ne se r\ea f\eg re pas \ag \ une non-diff\ea rentiabilit\ea \ \ea ventuelle, mais au fait que $\sigma$ peut avoir des points doubles, $\sigma $ n'\ea tant pas n\ea cessairement injective.) \subsubsection{$p$-cha\^{\i}nes singuli\eg res d'un espace topologique X} Soit $S_{p}(X)$ l'ensemble dont les \ea l\ea ments sont les combinaisons $\Zmath$-lin\ea aires formelles (finies) $\sum_{\sigma} \ n_{\sigma} \ \sigma$\; de $p$-simplexes singuliers de $X$. $S_{p}(X)$ est le $\Zmath$-module libre ayant pour base l'ensemble des $p$-simplexes singuliers de $X$. Notons que les expressions "$\Zmath$-module" et "groupe ab\ea lien" sont synonymes. Tout \ea l\ea ment de $S_{p}(X)$ s'\ea crit par d\ea finition de fa\c{c}on unique sous la forme $\sum_{\sigma} \ n_{\sigma} \ \sigma$. Les \ea l\ea ments de $S_{p}(X)$ sont appel\ea es $p$-cha\^{\i}nes singuli\eg res de $X$. \subsubsection{Op\ea rateur bord} Pour $p \geqslant 1$, on appelle \textit{$i$-\eg me face} (oppos\ea e au sommet num\ea ro $i$) ($0 \leqslant i \leqslant p$) du $p$-simplexe standard $\Delta_{p}$ le $(p-1)$-simplexe singulier de $\Rp$ d\ea fini par l'application affine $\partial^{(i)}_p \Delta_{p} : \Delta_{p-1} \rightarrow \Rp$ qui envoie la suite des sommets $(e_0^{p-1},\ldots,e_{p-1}^{p-1})$ de $\Delta_{p-1}$ sur la suite des sommets $(e_0^{p},\ldots,\widehat{e_i^p}, \ldots , e_p^p)$ de $\Delta_p$ priv\ea e du sommet $e_i^p$. On a donc pour $x = \sum _{j=0}^{p-1} \lambda_j e_j^{p-1} \in \Delta_{p-1}$ : $\partial^{(i)}_p \Delta_{p} (x) = \sum_{0 \leqslant j < i} \lambda_j e_j^p + \sum_{i \leqslant j \leqslant p-1 } \lambda_j e_{j+1}^p.$ La \textit{$i$-\eg me face} \; $\partial^{(i)}_p \sigma$ d'un $p$-simplexe singulier $\sigma : \Delta_p \rightarrow X$ est d\ea finie par composition : $\partial^{(i)}_p \sigma = \sigma \circ \partial^{(i)}_p \Delta_{p}$. On \ea tend ensuite l'op\ea rateur $\partial^{(i)}_p$ \ag \ $S_{p}(X)$ par $\Zmath$-lin\ea arit\ea : $\partial^{(i)}_p \left(\sum_{\sigma} \ n_{\sigma} \ \sigma \right)= \sum_{\sigma} \ n_{\sigma} \ \partial^{(i)}_p \sigma $.\par On appelle alors \textit{op\ea rateur bord} l'op\ea rateur $ \partial_p : S_{p}(X) \rightarrow S_{p-1}(X)$ d\ea fini par $\partial_p = \sum_{i=0}^p (-1)^i \partial^{(i)}_{p}. $ Pour $p = 0$, on pose $\partial_{0} = 0$. Pour all\ea ger l'\ea criture, on omettra souvent l'indice $p$ en \ea crivant simplement $\partial$ au lieu de $\partial_{p}$. \newtheorem{lemme}{Lemme} \begin{lemme} $\partial_{p-1} \circ \partial_p = 0 \; \forall p \geqslant 1$ \end{lemme} \subsubsection{Complexe de cha\^{\i}nes singulier} On appelle \textit{complexe de cha\^{\i}nes singulier} de $X$ la suite infinie $$\{0\} \overset{\partial_0}{\longleftarrow} S_{0}(X) \overset{\partial_1}{\longleftarrow} S_{1}(X) \overset{\partial_2}{\longleftarrow} S_{2}(X) \ldots \overset{\partial_p}{\longleftarrow} S_{p}(X) \overset{\partial_{p+1}}{\longleftarrow} S_{p+1}(X) \ldots $$ On appelle \textit{$p$-i\eg me groupe d'homologie singuli\eg re de $X$} le $\Zmath$-module quotient %$$H_{p}^{\text{sing}}(X) = $$H_{p}(X) = Z_{p}(X) \left/ B_{p}(X)\right. $$ o\ug \ $Z_{p}(X) = \text{Ker}\ \partial_p$ et $B_{p}(X) = \text{Im} \ \partial_{p+1}$ . Les \ea l\ea ments de $Z_{p}(X)$ sont appel\ea s \textit{$p$-cycles} et ceux de $B_{p}(X)$ \textit{$p$-bords}. Si $z$ et $w$ sont deux $p$-cycles homologues, on notera $z \equiv w$; la classe d'homologie de $z$ est not\ea e $[z]$. \subsection{$\pi_{1}(X) \text{ et } H_{1}(X)$} \subsubsection{groupe d'homotopie $\pi_{1}(X)$} Un \textit{chemin bas\ea \ en $x_{0} \in X$} est une application continue $\gamma: [0,1] \rightarrow X$ telle que $\gamma (0) = \gamma (1) = x_{0}$. Soit $\mathcal{C}(X,x_0)$ l'ensemble des chemins bas\ea s en $x_0$. \par $\gamma, \gamma^{\prime} \in \mathcal{C}(X,x_0)$ sont \textit{homotopes} s'il existe une application continue $F : [0,1] \times [0,1] \rightarrow X$ telle que $F(0,t) = \gamma (t) $ et $F(1,t) = \gamma^{\prime} (t) \; \forall t$. On note alors $\gamma \sim \gamma^{\prime}$. On d\ea signe par $\pi_{1}(X,x_0) $ l'ensemble des classes d'homotopie des chemins bas\ea s en $x_0$: $$\pi_{1}(X,x_0) = \{ [\gamma] ; \; \gamma \in \mathcal{C}(X,x_0)\}$$ o\ug \ $[\gamma ]$ d\ea signe la classe d'homotopie de $\gamma$. Le compos\ea \ de deux chemins $\gamma_1, \gamma_2 \in \mathcal{C}(X,x_0)$ est le chemin $\gamma_1 \star \gamma_2$ d\ea fini par \begin{displaymath} (\gamma_1 \star \gamma_2) (t) = \begin{cases} \gamma_1 (t) &\quad 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2}\\ \gamma_2 (2t-1)& \quad \frac{1}{2} \leqslant t \leqslant 1 \end{cases} \end{displaymath} On v\ea rifie que si $\gamma_1 \sim \gamma_1^{\prime}$ et $\gamma_2 \sim \gamma_2^{\prime}$ alors $\gamma_1 \star \gamma_2 \sim \gamma_1^{\prime} \star \gamma_2^{\prime}$ de sorte que $[\gamma_1] \star [\gamma_2] = [\gamma_1 \star \gamma_2]$ est bien d\ea fini. \par $\pi_{1}(X,x_0) $ est un groupe pour la loi $\star$ (en g\ea n\ea ral nonab\ea lien si $X$ n'est pas un groupe topologique). \par Si $X$ est localement connexe par arcs, le groupe $\pi_{1}(X,x_0) $ ne d\ea pend pas (\ag \ isomorphisme pr\eg s) du point $x_0 \in X$. On note alors simplement $\pi_{1}(X)$ au lieu de $\pi_{1}(X,x_0)$. \par $X$ est dit \textit{simplement connexe} s'il est localement connexe par arcs et $\pi_{1}(X) = \{0\}.$ \par \subsubsection{lien avec l'homologie} On a $\mathcal{C}(X,x_0) \subset Z_{1}(X)$. En effet, tout $\gamma \in \mathcal{C}(X,x_0)$ est un $1$-simplexe singulier de $X$ et son bord est $\partial_1 \gamma = \gamma (1) - \gamma (0) = 0$, i.e. $\gamma \in Z_{1}(X)$. Soit $\chi : \mathcal{C}(X,x_0) \longrightarrow Z_{1}(X)$ l'injection canonique. Pour $\gamma, \gamma^{\prime} \in \mathcal{C}(X,x_0)$ , on note $\gamma \equiv \gamma^{\prime}$ si $\gamma$ et $\gamma^{\prime}$ sont homologues comme \ea l\ea ments de $Z_{1}(X)$, i.e. $\gamma - \gamma^{\prime} \in B_{1}(X)$ ou encore $\chi(\gamma) - \chi(\gamma^{\prime}) \in B_{1}(X)$. \subsubsection{} \newtheorem{theorem}{Th\ea or\eg me} \begin{theorem} \par 1. Si $\gamma, \gamma^{\prime} \in \mathcal{C}(X,x_0)$ sont homotopes, ils sont homologues: $$\gamma \sim \gamma^{\prime} \; \Longrightarrow \;\gamma \equiv \gamma^{\prime} .$$ L'application $\chi$ passe aux quotients et d\ea finit une application \[\bar{\chi} : \pi_1(X,x_0) \longrightarrow H_{1}(X)\] telle que le diagramme suivant soit commutatif: \begin{equation*} \begin{CD} \mathcal{C}(X,x_0) @) \chi )) Z_{1}(X) \\ @V\text{proj}VV @VV\text{proj}V \\ \pi_{1}(X,x_0) @)\bar{\chi} )) H_{1}(X) \end{CD} \end{equation*} 2. On a pour $\gamma_1 , \gamma_2 \in \mathcal{C}(X,x_0)$, $\gamma_1 \star \gamma_2 \equiv \gamma_1 + \gamma_2$ ,i.e. $\chi(\gamma_1 \star \gamma_2) \equiv \chi(\gamma_1) + \chi(\gamma_2).$ L'application $\bar{\chi}$ est donc un homomorphisme de groupes. \\3. Si $X$ est connexe par arcs, $\bar{\chi}$ est surjectif , de noyau $\text{Ker } \bar{\chi} = \mathcal{D}(\pi_{1}(X,x_0))$ o\ug \ $\mathcal{D}(\pi_{1}(X,x_0))$ est le groupe d\ea riv\ea \ de $\pi_{1}(X,x_0)$ (i.e. engendr\ea \ par les commutateurs $\alpha \beta \alpha^{-1} \beta^{-1}$ d'\ea l\ea ments $\alpha , \beta $ du groupe). On a donc un isomorphisme de groupes ab\ea liens (i.e. $\Zmath$-modules) \[ H_{1}(X) \cong \pi_{1}(X,x_0) \left/ \mathcal{D}(\pi_{1}(X,x_0))\right. .\] \end{theorem} \subsubsection{} Si $X$ est simplement connexe, alors $H_{1}(X) = \{0\}$.\par La r\ea ciproque est vraie pour un ouvert de $\Cmath$ : \begin{theorem} Un ouvert $\Omega$ de $\Cmath$ est simplement connexe si et seulement si $H_{1}(\Omega) = \{0\}$. \end{theorem} \subsubsection{caract\ea risation de $B_{1}(\Omega)$ par l'indice pour un ouvert de $\Cmath$} Soit $\Omega $ un ouvert de $\Cmath$ , et $\gamma \in Z_{1}(\Omega)$ de classe $C^1$ par morceaux, i.e. $\gamma = \sum_{\sigma} \ n_{\sigma} \ \sigma$ avec des $1$-simplexes singuliers $\sigma : \Delta_{1} = [0,1] \longrightarrow \Omega$ de classe $C^{1}$ par morceaux. On note $\gamma^{*} = \bigcup_{\sigma} \, \sigma (\Delta_{1}) $, et, pour une fonction $f$ continue sur $\gamma^{*}$, $\int_{\gamma} f(\zeta) d\zeta =\sum_{\sigma} \ n_{\sigma} \ \int_{\sigma} f(\zeta) d\zeta.$ \par Soit $z \in \Cmath \setminus \gamma^*$. L'indice de $z$ par rapport \ag \ $\gamma$ est d\ea fini par $Ind_{\gamma}(z) = \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma} \frac{d\zeta}{\zeta - z}$. La fonction $f : z \mapsto Ind_{\gamma}(z)$ est \ag \ valeurs dans $\Zmath$, constante sur chaque composante connexe de $\Cmath \setminus \gamma^*$ , nulle sur la composante connexe non born\ea e. \begin{theorem} $\gamma \in B_{1}(\Omega) \Longleftrightarrow Ind_{\gamma}(z) = 0 \quad \forall z \in \Cmath \setminus \Omega$ \end{theorem} \subsubsection{Th\ea or\eg me de Cauchy global} \begin{theorem} Soit $\gamma \in B_{1}(\Omega)$ de classe $C^1$ par morceaux. Pour toute fonction $f : \Omega \longrightarrow \Cmath $ holomorphe dans $\Omega$, on a: \\ i) \quad $\int_{\gamma} f(z) dz = 0 \\ ii) \quad f(z) Ind_{\gamma}(z) = \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad \forall z \in \Cmath \setminus \gamma^*$. \end{theorem} \subsubsection{Application: Th\ea or\eg me des r\ea sidus} \begin{theorem} Soit $\Omega^{\prime} = \Omega \setminus \{a_{1}, \ldots , a_{p}\}$, $f : \Omega^{\prime} \longrightarrow \Cmath $ une fonction holomorphe dans $\Omega^{\prime}$ et $\gamma \in B_{1}(\Omega)$ de classe $C^1$ par morceaux ne passant par aucun des points $a_{k} \; (1 \leqslant k \leqslant p) $ (on a donc $\gamma \in Z_{1}(\Omega^{\prime})$). Alors: \[ \int_{\gamma} f(z) dz = 2 i \pi \sum_{k=1}^{p} Ind_{\gamma}(a_k) Res(f,a_k)\] o\ug \ $ Res(f,a_k)$ d\ea signe le r\ea sidu de $f$ au point $a_k$. \end{theorem} \par D\ea monstration.\par On isole chaque $a_k$ par un cercle $c_k : t \mapsto a_k + r_k e^{it} \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ avec des $r_k > 0$ tels que les disques $D(a_k, r_k)$ soient 2 \ag \ 2 disjoints contenus dans $\Omega$ et que chaque cercle $C(a_k, r_k) = c_{k}^{*} $ ait une intersection vide avec $\gamma^{*}$. Soit alors $\delta = \gamma - \sum_{k=1}^{p} Ind_{\gamma}(a_{k})\ c_{k}$\; . Si $z = a_{k}$, on a $Ind_{\delta}(a_{k}) = 0$. Si $z \not \in \Omega$, on a $Ind_{\delta}(z) = 0$. On a donc $Ind_{\delta}(z) = 0 \quad \forall z \in \Cmath \setminus \Omega^{\prime}$, et par cons\ea quent $\delta \in B_{1}(\Omega^{\prime})$. Le Th\ea or\eg me de Cauchy global s'applique donc et donne $\int_{\delta} f(z) dz = 0$ , donc $\int_{\gamma} f(z) dz = \sum_{k=1}^{p} Ind_{\gamma}(a_k) \int_{c_{k}} f(z) dz$. D'o\ug \ le r\ea sultat puisque $\int_{c_{k}} f(z) dz = 2 i \pi Res(f,a_k)$ d'après le d\ea veloppement de Laurent de $f$ en $a_k$. \begin{center} \begin{figure} %\includegraphics*[width = 10cm, angle=180]{cohomuefig2.eps} \includegraphics[width=10cm]{cohomuefig2.eps} \caption{un chemin $\gamma$ et la valeur de l'indice dans les diverses composantes connexes de $\Cmath \setminus \gamma^{*}$} \end{figure} \end{center} \subsection{Exemples} \subsubsection{} Si $X = \{a\}$, pour tout $p \geqslant 0$ il existe un seul $p$-simplexe singulier: le simplexe constant $\sigma_{p} : \Delta_{p} \rightarrow \{a\}$ . Alors $S_{p}(\{a\}) = \Zmath \sigma_{p} \cong \Zmath$ et $\partial^{(i)}_p \sigma_{p} = \sigma_{p-1}$, donc pour $p \geqslant 1$ \begin{displaymath} \partial_p \sigma_{p} = \left(\sum_{i=0}^p (-1)^i \right). \sigma_{p-1} = \begin{cases} 0 &\quad\text{si $p$ impair}\\ \sigma_{p-1}& \quad\text{si $p$ pair} \end{cases} \end{displaymath} i.e. $Z_{p}(\{a\}) = B_{p}(\{a\}) = S_{p}(\{a\})$ si $p$ est impair et $Z_{p}(\{a\}) = B_{p}(\{a\}) = \{0\}$ si $p$ pair. Pour $p = 0 $, $Z_{0}(\{a\}) = S_{0}(\{a\})$ par d\ea finition, et $B_{0}(\{a\}) = \{0\}$ d'apr\eg s ce qui pr\ea c\eg de. On a donc: \begin{displaymath} \begin{cases} H_p (\{a\}) = \{0\} &\; \forall p \geqslant 1 \\ H_0 (\{a\}) \cong \Zmath & \end{cases} \end{displaymath} \subsubsection{} Soit $\varepsilon : S_{0}(X) \rightarrow \Zmath$ d\ea finie par $\varepsilon \left( \sum_{x \in X} n_{x} \ x \right) = \sum_{x \in X} n_{x} $. Alors $B_{0}(X) \subset Ker \ \varepsilon$ avec \ea galit\ea \ si $X$ est connexe par arcs. Dans ce cas, $H_{0}(X) \cong \Zmath.$ Si $X$ n'est pas connexe par arcs, $H_{0}(X) \cong \Zmath^{k}$ o\ug \ $k$ est le cardinal de l'ensemble des composantes connexes par arcs de $X$. \subsubsection{} Si $\left\{ X_{\alpha}\, ; \; \alpha \in A \right\}$ est l'ensemble des composantes connexes par arcs de $X$, $H_{p}(X) = \prod_{\alpha \in A} H_{p}(X_{\alpha}) \; \forall p \geqslant 0.$ %%%%%%% \subsection{Conditions sur $X, Y$ impliquant $H_{p}(X) \cong H_{p}(Y) \; \forall p$} \subsubsection{} Soient $X,Y$ des espaces topologiques et $f: X \rightarrow Y$ continue. Soit $p \geqslant 0$. Pour tout $p$-simplexe singulier $\sigma$ de $X$, $f_{\sharp,p}(\sigma) = f\circ \sigma$ est un $p$-simplexe singulier de $Y$. On d\ea finit \ $f_{\sharp,p} : S_{p}(X) \rightarrow S_{p}(Y)$ par $\Zmath$-lin\ea arit\ea \ en posant $f_{\sharp,p}\left(\sum_{\sigma} n_{\sigma} \ \sigma\right) = \sum_{\sigma} n_{\sigma} \ f_{\sharp,p}(\sigma)$. On a alors $f_{\sharp,p-1} \circ \partial_{p} = \partial_{p} \circ f_{\sharp,p} \ \forall p \geqslant 1$ de sorte que $f_{\sharp,p}$ passe aux quotients et d\ea finit $f_{*,p} : H_{p}(X) \rightarrow H_{p}(Y)$. On a $Id_{*,p} =Id$ et si $Z$ est un autre espace topologique et $g : Y \rightarrow Z$ une application continue, $(g \circ f)_{*,p} = g_{*,p} \circ f_{*,p}$ En particulier, si $f$ est un hom\ea omorphisme, $f_{*,p}$ est un isomorphisme. L'homologie est donc un invariant topologique. On va donner des cas plus g\ea n\ea raux o\ug \ $f_{*,p}$ est encore un isomorphisme pour tout $p \geqslant 0.$ \subsubsection{} Comme dans le cas des chemins , deux application continues $f,f^{\prime} : X \rightarrow Y$ sont sont \textit{homotopes} s'il existe une application continue $F : [0,1] \times X \rightarrow Y$ telle que $F(0,x) = f(x) $ et $F(1,x) = f^{\prime}(x) \; \forall x \in X$ , et l'on note $f \sim f^{\prime}.$ \begin{lemme} Si $f , f^{\prime} : X \rightarrow Y$ sont deux applications continues homotopes, alors $f_{*,p} = f^{\prime}_{*,p} \; \forall p \geqslant 0.$ \end{lemme} \subsubsection{} \newtheorem{corollaire}{Corollaire} \begin{corollaire} Soit $f: X \rightarrow Y$ continue. Si $f$ est une \textit{\ea quivalence-homotopie} (i.e. il existe une application continue $g: Y \rightarrow X$ telle que $g \circ f \sim Id_{X} \text{ et } f \circ g \sim Id_{Y}$), alors $f_{*,p}$ un isomorphisme pour tout $p \geqslant 0.$ \end{corollaire} \begin{corollaire} Soit $X \subset Y$ et $i : X \rightarrow Y$ l'injection canonique. Si $X$ est un \textit{d\ea formation-r\ea tract} de $Y$ (i.e. il existe une application continue $g: Y \rightarrow X$ telle que $g \circ i = Id_{X} \text{ et } i \circ g \sim Id_{Y}$), alors $i_{*,p}$ est un isomorphisme pour tout $p \geqslant 0.$ \end{corollaire} \begin{corollaire} Si $X$ est \textit{contractile}, i.e. il existe $a \in X$ tel que $Id_{X}$ soit homotope \ag \ l'application constante $\tilde{a}: x \mapsto a$, alors $H_{p}(X) \cong H_{p}(\{a\}) \; \forall p \geqslant 0.$ \end{corollaire} En effet, $\{a\}$ est un d\ea formation-r\ea tract de $X$. \subsubsection{Exemples} 1. Tout convexe de $\Rmath^{n}$ est contractile. \par 2. La sph\eg re $\Smath^{n-1} (n \geqslant 1)$ est un d\ea formation-r\ea tract de $\Rmath^{n} \setminus \{0\}.$ En effet, si $i: \Smath^{n-1} \rightarrow \Rmath^{n} \setminus \{0\}$ est l'injection canonique et $g : \Rmath^{n} \setminus \{0\} \rightarrow \Smath^{n-1}$ est d\ea finie par $g(x) = \frac{x}{||x||}$, on a $g \circ i = Id_{\Smath^{n-1}}$ et $i \circ g \sim Id_{\Rmath^{n} \setminus \{0\}}$, avec pour homotopie de $i \circ g $ sur $ Id_{\Rmath^{n} \setminus \{0\}}$ l'application $F : [0,1] \times \left(\Rmath^{n} \setminus \{0\}\right) \rightarrow \Rmath^{n} \setminus \{0\} $ d\ea finie par $F(t,x) =(1 - t) x + t \frac{x}{||x||}$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Calcul de l'homologie: suite de Mayer-Vietoris} Dans toute cette section, on suppose que $X$ est la r\ea union de deux ouverts $U$ et $V$. \subsubsection{} \begin{theorem} Si $X$ est la r\ea union de deux ouverts $U$ et $V$, alors:\\ 1. Pour toute $p$-cha\^{\i}ne $z \in S_{p}(X)$ , il existe une $p$-cha\^{\i}ne $w \in S_{p}(X)$ de la forme $w = z_{U} + z_{V}$ avec $z_{U} \in S_{p}(U)$ et $z_{V} \in S_{p}(V)$\; telle que $\partial z = \partial w$;\\ 2. Si $z$ est un $p$-cycle de $X$ alors $z, w \in Z_{p}(X)$ sont homologues: $[z] = [w]$. \end{theorem} \subsubsection{} Pour $p \geqslant 0$, consid\ea rons les applications $$ \begin{matrix} g_{p}: & S_{p}(U \cap V ) & \longrightarrow & S_{p}(U) \oplus S_{p}(V)\\ & z & \mapsto & (z , - z) \end{matrix}$$ $$ \begin{matrix} h_{p}: & S_{p}(U) \oplus S_{p}(V) & \longrightarrow & S_{p}(X)\\ & ( z_{U} , z_{V} ) & \mapsto & z_{U} + z_{V} \end{matrix}$$ \begin{lemme} $\text{Ker } h_{p} = \text{Im } g_{p} \; \forall p \geqslant 0$ \end{lemme} \par D\ea monstration.\par Si $(z_{U},z_{V}) \in \text{Ker } h_{p}$, on a $z_{U} + z_{V} = 0$ et cela implique $z = z_{U} = - z_{V} \in S_{p}(U \cap V).$ En effet, $z_{U}$ est de la forme $\sum_{j} n_{j} \sigma_{U,j}$ o\ug \ $ \sigma_{U,j}$ est un $p$-simplexe de $U$ et $- z_{V}$ est de la forme $ \sum_{k} m_{k} \sigma_{V,k}$ o\ug \ $ \sigma_{V,k}$ est un $p$-simplexe de $V$. On a donc deux d\ea compositions du \textit{m\^{e}me \ea l\ea ment} $z$ dans le $\Zmath$-module libre $ S_{p}(X)$ et par cons\ea quent elles sont identiques, i.e. $\forall j \; \exists k \; \sigma_{U,j} = \sigma_{V,k}$ et alors $n_{j} = m_{k}.$ Cela prouve que $\text{Ker } h_{p} \subset \text{Im } g_{p}$, d'o\ug \ l'\ea galit\ea \ , l'inclusion r\ea ciproque \ea tant claire. \subsubsection{} $g_{p}$ et $h_{p}$ d\ea finissent (avec des notations \ea videntes): $$ \begin{matrix} g_{*,p}: & H_{p}(U \cap V ) & \longrightarrow & H_{p}(U) \oplus H_{p}(V)\\ & {[ z ]}_{U \cap V} & \mapsto & ({[z]}_{U} , - {[z]}_{V}) \end{matrix}$$ $$ \begin{matrix} h_{*,p}: & H_{p}(U) \oplus H_{p}(V) & \longrightarrow & H_{p}(X)\\ & ( {[z_{U}]}_{U} , {[z_{V}]}_{V} ) & \mapsto & {[z_{U} + z_{V}]}_{X} \end{matrix}$$ \begin{lemme} $\text{Ker } h_{*,p} = \text{Im } g_{*,p} \; \forall p \geqslant 0$ \end{lemme} \par D\ea monstration.\par Soit $([z_{U}]_{U},[z_{V}]_{V}) \in \text{Ker } h_{*,p}.$ On a $[z_{U} + z_{V}]_{X} = 0$, donc $z_{U} + z_{V} = \partial c$ avec $c \in S_{p+1}(X).$ Soit $c^{\prime} \in S_{p+1}(X)$ de la forme $c^{\prime} = c_{U} + c_{V}$, avec $\partial c^{\prime} = \partial c,$ \ $c_{U} \in S_{p+1}(U),\ c_{V} \in S_{p+1}(V).$ Alors $z_{U} + z_{V} = \partial c^{\prime} = \partial c_{U} + \partial c_{V}$ d'o\ug \ $z_{U} - \partial c_{U} = - ( z_{V} - \partial c_{V} )$ ce qui implique d'apr\eg s le lemme pr\ea c\ea dent $z_{U} - \partial c_{U} = - ( z_{V} - \partial c_{V} ) \in S_{p}(U \cap V).$ \par Cela prouve que $\text{Ker } h_{*,p} \subset \text{Im } g_{*,p}$, d'o\ug \ l'\ea galit\ea \ , l'inclusion r\ea ciproque \ea tant claire. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{le morphisme de connexion} On d\ea finit le \textit{morphisme de connexion} $$\delta_{p+1} : H_{p+1}(X) \rightarrow H_{p}(U \cap V)$$ comme suit. \par Soit $z \in Z_{p+1}(X)$. $z$ est homologue \ag \ un $(p+1)$-cycle de la forme $w = z_{U} + z_{V} , \; z_{U} \in S_{p+1}(U) , \; z_{V} \in S_{p+1}(V).$ On a $\partial z_{U} + \partial z_{V} =\partial w = 0$, donc $(\partial z_{U},\partial z_{V}) \in \text{Ker } h_{p}$. Or $\text{Ker } h_{p} = \text{Im } g_{p}$, donc $\partial z_{U} \in S_{p}(U \cap V)$. La classe d'homologie $[\partial z_{U}]_{U \cap V} \in H_{p}(U \cap V)$ ne d\ea pend pas du $w = z_{U} + z_{V}$ utilis\ea , mais seulement de la classe d'homologie $[z] \in H_{p+1}(X)$ de $z$. En effet, si $w^{\prime} = z_{U}^{\prime} + z_{V}^{\prime} , \; z_{U}^{\prime} \in S_{p+1}(U) , \; z_{V}^{\prime} \in S_{p+1}(V)$ est un autre $(p+1)$-cycle homologue \ag \ $z$, on a $ z_{U} - z_{U}^{\prime} + z_{V} - z_{V}^{\prime} \in B_{p}(X).$ Comme dans la d\ea monstration du lemme pr\ea c\ea dent, cela implique qu'il existe $c_{U} \in S_{p+1}(U)$ tel que $ z_{U} - z_{U}^{\prime} - \partial c_{U} \in S_{p}(U \cap V),$ d'o\ug \ $\partial z_{U} - \partial z_{U}^{\prime} \in B_{p}(U \cap V).$ \par On pose $\delta_{p+1} ([z]) = {[\partial z_{U}]}_{U \cap V} \in H_{p}(U \cap V).$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{La suite de Mayer-Vietoris} \begin{theorem} Si $X$ est la r\ea union de deux ouverts $U$ et $V$, on a une suite exacte longue d'homologie \begin{multline*} \ldots \longrightarrow H_{p}(U \cap V) \overset{g_{*,p}}{\longrightarrow} H_{p}(U) \oplus H_{p}(V) \overset{h_{*,p}}{\longrightarrow} H_{p}(X) \overset{\delta_{p}}{\longrightarrow} H_{p-1}(U \cap V) \overset{g_{*,p-1}}{\longrightarrow} \ldots\\ \ldots \longrightarrow H_{0}(U \cap V) \overset{g_{*,0}}{\longrightarrow} H_{0}(U) \oplus H_{0}(V) \overset{h_{*,0}}{\longrightarrow} H_{0}(X). \end{multline*} \end{theorem} \par D\ea monstration.\par Il reste \ag \ montrer que $\text{Im } h_{*,p} = \text{Ker } \delta_{p} \text{ et } \text{Im } \delta_{p} = \text{Ker } g_{*,p-1} \; \forall p \geqslant 1.$ \par Montrons que $\text{Im } h_{*,p} = \text{Ker } \delta_{p}.$ \par Notons d'abord que $\text{Im } h_{*,p}$ est l'ensemble des classes d'homologie $[z]$ qui poss\eg dent un repr\ea sentant de la forme $w = z_{U} + z_{V}$ o\ug \ $z_{U}$ et $z_{V}$ sont des $\mathit{p}$-\textit{cycles} de $U$ et $V$. Comme par d\ea finition, $\delta_{p} ([z]) = {[\partial z_{U}]}_{U \cap V}$ on voit que $\text{Im } h_{*,p} \subset \text{Ker } \delta_{p}.$\par Soit maintenant $[z] \in \text{Ker } \delta_{p}.$ $z$ est homologue \ag \ un $p$-cycle de la forme $w = z_{U} + z_{V} , \; z_{U} \in S_{p}(U) , \; z_{V} \in S_{p}(V)$, et l'on a $\delta_{p} ([z]) = {[\partial z_{U}]}_{U \cap V} = 0$, donc $\partial z_{U} \in B_{p-1}(U \cap V)$, i.e. il existe $z^{\prime}_{U \cap V} \in S_{p}(U \cap V)$ tel que $\partial z_{U} = \partial z^{\prime}_{U \cap V}$. Alors $z_{U} - z^{\prime}_{U \cap V}$ et $z_{V} + z^{\prime}_{U \cap V}$ sont des \textit{$p$-cycles} dont la somme est $w$, donc $[z] \in \text{Im } h_{*,p}$. Cela prouve que $\text{Ker } \delta_{p} \subset \text{Im } h_{*,p}$. \par Montrons maintenant que $ \text{Im } \delta_{p} = \text{Ker } g_{*,p-1}.$ \par D'abord $ \text{Im } \delta_{p} \subset \text{Ker } g_{*,p-1}.$ En effet, pour un $p$-cycle $z \in Z_{p}(X)$, on par d\ea finition $\delta_{p} ([z]) = {[\partial z_{U}]}_{U \cap V}$, o\ug \ $w = z_{U} + z_{V}$ est un $p$-cycle homologue \ag \ $z$ tel que $z_{U} \in S_{p}(U) , \; z_{V} \in S_{p}(V)$. Alors $\partial z_{U} = - \partial z_{V}$, ${[\partial z_{U}]}_{U} = 0 $ et ${[\partial z_{U}]}_{V} = - {[\partial z_{V}]}_{V} = 0 $ donc $\delta_{p}([z]) \in \text{Ker } g_{*,p-1}.$ \par Soit maintenant $\zeta \in Z_{p-1}(U \cap V)$ tel que ${[\zeta]}_{U \cap V} \in \text{Ker } g_{*,p-1},$ i.e. ${[\zeta]}_{U} = {[\zeta]}_{V} = 0.$ On a donc $\zeta \in B_{p-1}(U)$ et $\zeta \in B_{p-1}(V).$ Soit $z_{U} \in S_{p}(U), z_{V} \in S_{p}(V)$ tels que $\zeta = \partial z_{U} = \partial z_{V}.$ Alors $z = z_{U} - z_{V} \in Z_{p}(X)$ et $\delta_{p} ([z]) = {[\partial z_{U}]}_{U \cap V} = {[\zeta]}_{U \cap V}$ donc ${[\zeta]}_{U \cap V} \in \text{Im } \delta_{p}.$ Cela prouve que $ \text{Ker } g_{*,p-1} \subset \text{Im } \delta_{p}.$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Exemple: homologie de la sph\eg re $\Smath^{n} \; (n \geqslant 1)$} \subsubsection{} Soit $N$ le p\^{o}le nord de $\Smath^{n}$, $S$ le p\^{o}le sud , $U = \Smath^{n} \setminus \{N\} , V = \Smath^{n} \setminus \{S\}.$ $U$ et $V$ sont hom\ea omorphes \ag \ $\Rmath^{n}$ par la projection st\ea r\ea ographique, donc $H_{p}(U) = H_{p}(V) = \{0\} \; \forall p \geqslant 1$. $U \cap V$ est hom\ea omorphe \ag \ $\Rmath^{n} \setminus\{0\}$, donc $H_{p}(U \cap V) \cong H_{p}(\Smath^{n-1})$ puisque $\Smath^{n-1}$ est un d\ea formation-r\ea tract de $\Rmath^{n} \setminus\{0\}$. \par La suite de Mayer-Vietoris se scinde et donne pour tout $p \geqslant 2$ la suite exacte courte: \begin{multline*} \{0\} = %\overbrace{H_{p}(U) \oplus H_{p}(V)}^{= \{0\}} H_{p}(U) \oplus H_{p}(V) \overset{h_{*,p}}{\longrightarrow} H_{p}(\Smath^{n}) \overset{\delta_{p}}{\longrightarrow} H_{p-1}(U \cap V) \cong \\ \cong H_{p-1}(\Smath^{n-1}) \overset{g_{*,p-1}}{\longrightarrow} H_{p-1}(U) \oplus H_{p-1}(V) = \{0\} \end{multline*} %\overbrace{H_{p-1}(U) \oplus H_{p-1}(V)}^{= \{0\}}$$ On a donc pour $p \geqslant 2$: $$ H_{p}(\Smath^{n}) \cong H_{p-1}(\Smath^{n-1}) \cong \ldots \cong \begin{cases} H_{p-n+1}(\Smath^{1}) & \quad \text{si } p \geqslant n \\ H_{1}(\Smath^{n-p+1}) & \quad \text{si } p < n \end{cases} $$ de sorte que le calcul de $H_{p}(\Smath^{n})$ est ramen\ea \ au calcul de $H_{1}(\Smath^{n})$ et $H_{p}(\Smath^{1})$. \subsubsection{calcul de $H_{1}(\Smath^{n}) \; n\geqslant 1$} La suite de Mayer-Vietoris donne (pour $p =1 $) la suite exacte courte: $$ \{0\} = H_{1}(U) \oplus H_{1}(V) \overset{h_{*,1}}{\longrightarrow} H_{1}(\Smath^{n}) \overset{\delta_{1}}{\longrightarrow} H_{0}(U \cap V) \cong H_{0}(\Smath^{n-1}) \overset{g_{*,0}}{\longrightarrow} $$ $$ \overset{g_{*,0}}{\longrightarrow} H_{0}(U) \oplus H_{0}(V) \cong \Zmath \oplus \Zmath \overset{h_{*,0}}{\longrightarrow} H_{0}(\Smath^{n}) \cong \Zmath.$$ $\delta_{1}$ est donc injective et $H_{1}(\Smath^{n}) \cong \text{Im }\delta_{1} = \text{Ker } g_{*,0}$. \par Si $n \geqslant 2$, $U \cap V$ est connexe par arcs, donc si $x$ est un point fix\ea \ de $U \cap V$, $H_{0}(U \cap V) = \Zmath \cdot [x]_{U \cap V} \cong \Zmath$. Or pour $n \in \Zmath$\quad $g_{*,0}(n [x]_{U \cap V}) = (n [x]_{U}, n [x]_{V})$, donc $\text{Ker } g_{*,0} = \{0\}$ et $H_{1}(\Smath^{n}) = \{0\}.$ \par Si $n = 1$, $U \cap V$ a deux composantes connexes par arcs, donc si $x, y$ sont deux points fix\ea s respectivement dans chacune des composantes de $U \cap V$, $H_{0}(U \cap V) = \Zmath \cdot [x]_{U \cap V} \oplus \Zmath \cdot [y]_{U \cap V} \cong \Zmath \oplus \Zmath$. On a dans ce cas pour $n,m \in \Zmath$ $g_{*,0}(n [x]_{U \cap V} + m [y]_{U \cap V}) = (n [x]_{U} + m [y]_{U}, n [x]_{V} + m [y]_{V}) = ((n + m) [x]_{U}, (n + m) [x]_{V})$ car, dans $U$, $x \equiv y$ et pareillement dans $V$. Donc $\text{Ker } g_{*,0} = \Zmath \cdot [x-y]_{U \cap V}$ et $H_{1}(\Smath^{1}) \cong \Zmath.$ %%%%%%%% \subsubsection{} Pour $p \geqslant 2$, on a $H_{p}(\Smath^{1}) \cong H_{p-1}(\Smath^{0}) \cong H_{p-1}(\{-1\}) \oplus H_{p-1}(\{1\}) = \{0\}$ \subsubsection{} On a donc en conclusion: $$ H_{p}(\Smath^{n}) \cong \begin{cases} \Zmath & \text{ si } p = 0 \text{ ou } p = n\\ \{0\} &\text{ si } 1 \leqslant p < n \text{ ou } p > n \end{cases}$$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Nombres de Betti; caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea} \subsubsection{} Soit $E$ un $\Zmath$-module. Rappelons que $E$ est dit \textit{libre} s'il admet une base sur $\Zmath$. Un \ea l\ea ment $a$ de $E$ est dit \textit{de torsion} s'il existe $n \in \Zmath , n \neq 0$, tel que $na = 0$. S'il n'existe pas d'\ea l\ea ment de torsion non nul, $E$ est dit \textit{sans torsion}. \smallskip \par \textbf{Exemple:} $\Qmath$ est sans torsion, mais \textit{n'est pas} un $\Zmath$-module libre. En effet, pour $a,b \in \Qmath^{*} , a \neq b, a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{s}, \; (p, r \in \Zmath^{*} , q, s \in \Nmath^{*})$, on a $na + mb = 0$ si l'on choisit $n = qr$ et $m = - ps$, donc une base de $\Qmath$ sur $\Zmath$ n'aurait \textit{qu'un seul} \ea l\ea ment , ce qui est impossible. \par On a la m\^{e}me situation pour $\Rmath$ puisque tout sous-$\Zmath$-module d'un $\Zmath$-module libre est libre. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{Classification des $\Zmath$-modules finiment engendr\ea s} Pour $m \in \Nmath^{*}$ notons ${\Zmath}_{m}$ le groupe quotient $\Zmath \left/ {m \Zmath} \right.$. \begin{theorem} Soit $E$ un $\Zmath$-module finiment engendr\ea . Alors $$E \cong \underbrace{\Zmath \oplus \ldots \oplus \Zmath}_{r \text{ fois}} \oplus \; \Zmath_{m_1} \oplus \Zmath_{m_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{m_{\ell}}$$ o\ug \ $r \in \Nmath$ et pour chaque $i$, $1 \leqslant i < \ell $, $m_{i}$ divise $m_{i+1}$. \end{theorem} \par $\Zmath \oplus \ldots \oplus \Zmath = \Zmath^{r}$ est un $\Zmath$-module libre de type fini; $r$ est appel\ea \ \textit{rang} de $E$ et not\ea \ $\text{rg}(E)$. \par $\Zmath_{m_1} \oplus \Zmath_{m_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{m_{\ell}}$ est appel\ea \ le sous-module de torsion de $E$; la suite $(m_1, \ldots , m_{\ell})$ est la suite des \textit{facteurs de torsion} de $E$. \subsubsection{} Soit $X$ un espace topologique. Pour $p \in \Nmath$, si $H_{p}(X)$ est finiment engendr\ea , on appelle \textit{$p$-i\eg me nombre de Betti} de $X$ et l'on note $b_{p}(X)$ le rang de $H_{p}(X)$. Si $H_{p}(X)$ n'est pas finiment engendr\ea , on pose $b_{p}(X) = \infty$. \par Si $b_{p}(X) < \infty \; \forall p \in \Nmath$, et si $b_{p}(X)$ est nul sauf pour un nombre fini d'indices $p$, on appelle \textit{caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea } de $X$ le nombre $$\chi(X) = \sum_{p=0}^{\infty} (-1)^{p} b_{p}(X).$$ Le polyn\^{o}me $P_{X}(t) = \sum_{p=0}^{\infty} b_{p}(X) t^p \in \Zmath[t]$ est le \textit{polyn\^{o}me de Poincar\ea}. On a donc $\chi(X) = P_{X}(-1).$ \smallskip \par \textbf{Exemple:} Pour $X = \Smath^{n}$, $$\chi (\Smath^{n}) = \begin{cases} 2 & \text{ si $n$ est pair}\\ 0 & \text{ si $n$ est impair} \end{cases}$$ $$P_{\Smath^{n}}(t) = 1 + t^{n}.$$ %%%%%%%%%%%% \subsection{Th\ea or\eg me des coefficients} $S_{p}(X)$ est le $\Zmath$-module libre ayant pour base l'ensemble des $p$-simplexes singuliers de $X$. On peut d\ea finir de m\^{e}me si $\kmath$ est un corps commutatif $S_{p}(X,\kmath)$ comme le $\kmath$-espace vectoriel ayant pour base l'ensemble des $p$-simplexes singuliers de $X$. Le lien entre $S_{p}(X)$ et $S_{p}(X,\kmath)$ est donn\ea \ par la notion de \textit{produit tensoriel de $\Zmath$-modules} qui permettra aussi de d\ea finir $S_{p}(X,E)$ pour tout $\Zmath$-module $E$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{produit tensoriel de $\Zmath$-modules} \begin{theorem} Soient $E$ et $F$ deux $\Zmath$-modules. Il existe un $\Zmath$-module unique \ag \ isomorphisme pr\eg s not\ea \ $E {\otimes}_{\Zmath} F$ tel que:\par 1. Il existe une application $\Zmath$-bilin\ea aire $\pi : E \times F \longrightarrow E {\otimes}_{\Zmath} F$ dont l'image engendre $E {\otimes}_{\Zmath} F$.\par 2. Pour tout $\Zmath$-module $G$ et toute application $\Zmath$-bilin\ea aire $f : E \times F \longrightarrow G$, il existe une unique application $\Zmath$-lin\ea aire $g : E {\otimes}_{\Zmath} F \longrightarrow G$ rendant commutatif le diagramme \begin{equation*} \begin{CD} E \times F @) f )) G \\ @V\pi VV g \\ E {\otimes}_{\Zmath} F \end{CD} \end{equation*} On note pour $x \in E, y \in F $ : $x \otimes y = \pi (x,y)$. \end{theorem} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{propri\ea t\ea s essentielles du produit tensoriel} (i) $ E \, {\otimes}_{\Zmath}\, F \cong F\, {\otimes}_{ \Zmath}\, E$ (isomorphisme d\ea fini par $x \otimes y \mapsto y \otimes x$) \par (ii) $ E \, {\otimes}_{\Zmath} \,\Zmath \cong E$ (isomorphismes r\ea ciproques d\ea finis par $ x \otimes n \mapsto nx$ et $x \mapsto x \otimes 1$)\par (iii) Si $F$ est un $\Zmath$-module libre de base $(f_{j})_{j \in J}$, tout \ea l\ea ment de $ E {\otimes}_{\Zmath} F$ s'\ea crit de façon unique $\sum_{j} x_{j} \otimes f_{j}$ avec $x_{j} \in E, x_{j} = 0$ sauf pour un nombre fini d'indices. \par (iv) Si $\kmath$ est un corps commutatif, $E \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ est un \textit{$\kmath$-espace vectoriel}. En effet, pour tout $\lambda \in \kmath$, l'application $f_{\lambda} : E \, \times \, \kmath \longrightarrow E\, {\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ d\ea finie par $(x,\mu) \mapsto x \otimes \lambda \mu$ est $\Zmath$-bilin\ea aire donc d\ea finit une application $\Zmath$-lin\ea aire $g_{\lambda} : E \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath \longrightarrow E\, {\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ telle que $g_{\lambda}(x \otimes \mu) = x \otimes \lambda \mu$. Si l'on pose $\lambda z = g_{\lambda}(z)$ pour $z \in E \, {\otimes}_{\Zmath}\, \kmath, \lambda \in \kmath,$ on v\ea rifie facilement que $E\, {\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ est un \textit{$\kmath$-espace vectoriel}. \par Pour toute application $\Zmath$-lin\ea aire $f$ de $E$ dans un $\kmath$-espace vectoriel $V$, il existe une application $\kmath$-lin\ea aire unique $g$ du $\kmath$-espace vectoriel $E\, {\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ dans $V$ telle que $g(x \otimes 1) = f(x) \; \forall x \in E$. En effet, l'application $(x, \lambda) \longmapsto \lambda f(x)$ est $\Zmath$-bilin\ea aire donc d\ea finit une application $\Zmath$-lin\ea aire $g : E\, {\otimes}_{\Zmath}\, \kmath \longrightarrow V$. Il est imm\ea diat que $g$ est $\kmath$-lin\ea aire et est l'unique application r\ea pondant \ag \ la question. \par L'application $f \longmapsto g$ est un $\Zmath$-isomorphisme du $\Zmath$-module $\text{Hom}_{\Zmath}(E,V)$ des application $\Zmath$-lin\ea aires de $E$ dans $V$ sur le $\Zmath$-module $\text{Hom}_{\kmath}\left(E \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath,V\right)$ des application $\kmath$-lin\ea aires de $E \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ dans $V$. \par Notons enfin que pour que l'application canonique $x \longmapsto x \otimes 1$ de $E$ dans $E \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ soit injective il suffit que $E$ soit un $\Zmath$-module libre. \par %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{homologie \ag \ coefficients dans $E$} Pour tout $\Zmath$-module $E$, on pose $$S_{p}(X,E) = S_{p}(X) \; {\otimes}_{\Zmath} \; E$$ Tout \ea l\ea ment de $S_{p}(X,E)$ s'\ea crit de façon unique $\sum_{j} g_{j} \otimes {\sigma}_{j}$ avec $g_{j} \in E$ ($g_{j} = 0$ sauf pour un nombre fini d'indices) et $\sigma_{j} \in \Sigma_{p}(X)$ ($\Sigma_{p}(X)$ \ea tant l'ensemble des $p$-simplexes singuliers de $X$). \par En particulier, $$S_{p}(X,\Rmath) = \{\sum_{j} g_{j} \otimes {\sigma}_{j} ; g_{j} \in \Rmath; \sigma_{j} \in \Sigma_{p}(X)\}$$ $$S_{p}(X,\Zmath) \cong S_{p}(X)$$ \par L'op\ea rateur bord $\partial$ poss\eg de un prolongement naturel \ag \ $S_{p}(X,E)$ et permet de d\ea finir $H_{p}(X,E)$. \par Nous identifierons $S_{p}(X,\Zmath)$ et $S_{p}(X)$, donc $H_{p}(X,\Zmath) = H_{p}(X)$. \subsubsection{ Th\ea or\eg me des coefficients universel pour l'homologie } \begin{theorem} Pour tout $\Zmath$-module $E$, on a: $$H_{p}(X,E) = \left( H_{p}(X) \,{\otimes}_{\Zmath}\, E \right)\; \oplus \; \text{Tor }\left( H_{p-1}(X) , E\right) \; \forall p \geqslant 0$$ o\ug \ $\text{Tor }\left( H_{p-1}(X) , E\right)$ est un $\Zmath$-module qui est nul si $E$ ou $H_{p-1}(X)$ est sans torsion (on pose $H_{-1}(X) = \{0\}$). \end{theorem} \subsubsection{ Invariance de l'homologie par extension du \textit{corps de base} } \begin{corollaire} Pour tout corps commutatif $\kmath$, on a: $$\text{dim}_{\kmath}\; H_{p}(X,\kmath) = b_{p}(X) \quad \forall p \geqslant 0$$ \end{corollaire} \par D\ea monstration.\par Par d\ea finition, $b_{p}(X) = \text{rg } H_{p}(X)$. Si $\text{dim}_{\kmath}\; H_{p}(X,\kmath)$ ou $b_{p}(X)$ est infini, les deux sont infinis. Supposons donc $b_{p}(X) < + \infty$. Alors $$H_{p}(X) \cong \Zmath^{r} \oplus \; \Zmath_{m_1} \oplus \Zmath_{m_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{m_{\ell}}$$ o\ug \ $r = b_{p}(X)$ et $(m_1, \ldots , m_{\ell})$ est la suite des facteurs de torsion de $H_{p}(X)$. Comme un corps est sans torsion, on a \begin{eqnarray*} H_{p}(X,\kmath) & = & H_{p}(X) \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath \\ & \cong & \left(\Zmath^{r} \oplus \; \Zmath_{m_1} \oplus \Zmath_{m_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{m_{\ell}}\right) \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath \\ & \cong & \left(\Zmath^{r} \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath\right) \; \oplus \; \left( \Zmath_{m_1} \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath \right) \; \oplus \; \ldots \; \oplus \; \left( \Zmath_{m_\ell} \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath \right) \end{eqnarray*} Or $\Zmath^{r} \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath$ est un $\kmath$-espace vectoriel isomorphe \ag \ $\kmath^{r}$ et pour tout $m$, $\Zmath_{m} \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath = \{0\}$ puisque pour toute classe $[x]_{m}$ modulo $m$ on a: $[x]_{m} \otimes 1 = m [x]_{m} \otimes \frac{1}{m} = 0 \otimes \frac{1}{m} = 0.$ Ainsi: $\text{dim}_{\kmath}\; H_{p}(X,\kmath) = r = b_{p}(X).$ %%%%%%%%%%%% \subsection{Homologie des CW-complexes et des poly\eg dres} \subsubsection{CW-complexes finis} %Consid\ea rons la surface $X$ fronti\eg re du cube $X = [0,1]^{3}$ de $\Rmath^{3}$. %Soit $X_{0}$ l'ensemble des %sommets de $X$, $X_{1}$ la r\ea union des ar\^{e}tes de $X$ et $X_{2} = X$. %On a $X_{0} \subset X_{1} \subset X_{2} = X$. C'est un exemple de \textit{complexe %cellulaire} ou \textit{CW-complexe} (d'apr\eg s \textbf{C}harles \textbf{W}hitehead}. On appelle \textit{CW-complexe fini} ("C" est pour "closure finite" et "W" pour "weak topology", des conditions redondantes ici car le complexe est \textit{fini}) la donn\ea e d'un espace compact $X$ et d'une suite finie de compacts $$X_{0} \subset X_{1} \subset X_{2} \subset \ldots \subset X_{n} = X$$ telle que $X_{0}$ est fini et pour tout $1 \leqslant p \leqslant n$, $X_{p}$ se d\ea duit de $X_{p-1}$ par \textit{adjonction d'un nombre fini $k_{p} \geqslant 0$ de $p$-cellules}. Cela signifie que $X_{p} \setminus X_{p-1} = \bigcup_{\lambda = 1}^{k_{p}} c_{\lambda}^{p}$ o\ug, pour chaque $\lambda$, $c_{\lambda}^{p}$ est hom\ea omorphe \ag \ la boule unit\ea \ ouverte $B_{p}$ de $\Rmath^{p}$ et il existe une application continue $f_{\lambda}^{p}$ de la boule ferm\ea e $\overline{B_{p}}$ dans l'adh\ea rence $\overline{c_{\lambda}^{p}}$ telle que $f_{\lambda}^{p}(\Smath^{p-1}) \subset X_{p-1}$ et que $f_{\lambda}^{p}$ soit un hom\ea omorphisme de $B_{p}$ sur $c_{\lambda}^{p}$. Les $c_{\lambda}^{p}$ sont les $p$-cellules de la structure de CW-complexe de $X$. Le plus petit $n$ tel que $X_{n} = X$ et $X_{n-1} \neq X_{n}$ est la \textit{dimension} du CW-complexe. \subsubsection{Exemples} \par 1. Pour tout $n$ la sph\eg re $\Smath^{n}$ est un CW-complexe fini ayant seulement une $0$-cellule (le p\^{o}le Nord $N$) et une $n$-cellule ($\Smath^{n} \setminus \{N\}$). \par 2. Soit $P$ un poly\eg dre convexe de $\Rmath^{3}$ et $X$ sa surface. Par d\ea finition, $P$ est l'intersection d'un nombre fini $\geq 4$ de demi-plans non parall\eg les; les faces, ar\^{e}tes et sommets de $X$ sont bien d\ea finis, et les faces sont des surfaces polygonales planes convexes. $X$ est un CW-complexe fini dont les $0$-cellules sont les sommets, les $1$-cellules les ar\^{e}tes et les $2$-cellules les faces. \subsubsection{homologie d'un CW-complexe} Pour un CW-complexe fini de dimension $n$ $$X_{0} \subset X_{1} \subset X_{2} \subset \ldots \subset X_{n} = X$$ soit $C_{p}(X,\Zmath)$ \, ($ 0 \leqslant p \leqslant n$) \, le $\Zmath$-module libre ayant pour base l'ensemble des $p$-cellules. Il existe un op\ea rateur bord $\partial_{p} : C_{p}(X,\Zmath) \longrightarrow C_{p-1}(X,\Zmath)$ ($p \geqslant 1$) tel que $\partial_{p-1} \circ \partial_p = 0 \; \forall p \geqslant 1$ (Pour $p = 0$, on pose $\partial_{0} = 0$). On introduit alors les groupes d'homologies du CW-complexe par $$H_{p}(C_{*}(X,\Zmath)) = \text{Ker }\partial_{p} \left/ \text{Im } \partial_{p+1}\right.$$ On pose $H_{p}(C_{*}(X,\Zmath)) = \{0\}$ pour $p > n$. \begin{theorem} $H_{p}(C_{*}(X,\Zmath))$ est un $\Zmath$-module finiment engendr\ea; il est isomorphe \ag \ $H_{p}(X)$. \end{theorem} Lorsque $X$ possède une structure de CW-complexe fini, le calcul de son homologie est donc ramen\ea \ au calcul de l'homologie du complexe de base \textit{finie} $C_{*}(X,\Zmath)$. \subsubsection{caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea\ d'un CW-complexe} \begin{theorem} La caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea\ d'un espace compact $X$ poss\eg dant une structure de CW-complexe fini de dimension $n$ est $$\chi (X) = \sum_{p=0}^{n} (-1)^{p} \ \alpha_{p}$$ o\ug \ $\alpha_{p}$ est le nombre de $p$-cellules. \end{theorem} \par D\ea monstration.\par On a $b_{p}(X) = \text{dim}_{\Rmath}\; H_{p}(X,\Rmath).$ Or d'apr\eg s le Th\ea or\eg me des coefficients universels (qui est aussi vrai pour l'homologie des CW-complexes), $$H_{p}(C_{*}(X,\Zmath) \,{\otimes}_{\Zmath}\, \Rmath) = H_{p}(C_{*}(X,\Zmath)) \,{\otimes}_{\Zmath}\, \Rmath \cong H_{p}(X) \,{\otimes}_{\Zmath}\, \Rmath = H_{p}(X,\Rmath)$$ ou encore $$H_{p}(C_{*}(X,\Rmath)) \cong H_{p}(X,\Rmath)$$ o\ug\ $C_{p}(X,\Rmath)$ ($ 0 \leqslant p \leqslant n$) est le $\Rmath$-espace vectoriel ayant pour base l'ensemble des $p$-cellules. Si $Z_{p}$ et $B_{p}$ d\ea signent respectivement le noyau de $\partial_{p} : C_{p}(X,\Rmath) \longrightarrow C_{p-1}(X,\Rmath)$ (pour $p = 0$, $Z_{0} = C_{0}(X,\Rmath)$) et l'image de de $\partial_{p+1} : C_{p+1}(X,\Rmath) \longrightarrow C_{p}(X,\Rmath)$, on a $b_{p}(X) = \text{dim }Z_{p} - \text{dim }B_{p}$ d'o\ug\ par le th\ea or\eg me du rang $b_{p}(X) = \text{dim }Z_{p} + \text{dim }Z_{p+1} - \text{dim }C_{p+1}(X,\Rmath)$. Alors $$\chi(X) = \sum_{p=0}^{n} \, (-1)^{p}\, b_{p}(X) = \sum_{p=0}^{n} \, (-1)^{p}\, \text{dim }C_{p}(X,\Rmath) = \sum_{p=0}^{n} (-1)^{p} \ \alpha_{p}$$. \subsubsection{cas des poly\eg dres} \par Soit $X$ la surface d'un poly\eg dre convexe de $\Rmath^{3}$. $X$ est hom\ea omorphe \ag \ $\Smath^2$, donc $\chi (X) = \chi (\Smath^2) = 2$. Si $S$ est le nombre de sommets, $A$ le nombre d'ar\^{e}tes et $F$ le nombre de faces de $X$, on a donc d'apr\eg s le r\ea sultat pr\ea c\ea dent $S - A + F = 2$. C'est la relation d'Euler qui exprime donc que la caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea \ de $X$ est $2$.\par Pour les poly\eg dres non-convexes, la caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea \ de $X$ sera encore $2$ si le poly\eg dre est \textit{simple}, i.e. $X$ est hom\ea omorphe \ag \ $\Smath^2$, et la relation d'Euler sera encore vraie si de plus les notion de faces, ar\^{e}tes, sommets correspondent \ag \ une structure de CW-complexe sur $X$, ce qui n'est pas toujours le cas (\cite{Cro}). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cohomologie} \subsection{groupes de cohomologie} Soit $X$ un espace topologique et consid\ea rons le complexe de cha\^{\i}nes singulier de $X$ $$\{0\} \overset{\partial}{\longleftarrow} S_{0} \overset{\partial}{\longleftarrow} S_{1} \overset{\partial}{\longleftarrow} S_{2} \overset{\partial}{\longleftarrow} \ldots \overset{\partial}{\longleftarrow} S_{p} \overset{\partial}{\longleftarrow} S_{p+1} \ldots $$ o\ug \ $S_{p} = S_{p}(X)$ et l'on a omis les indices sur les $\partial$. Par dualit\ea \ et transposition, on obtient pour tout $\Zmath$-module $E$ un complexe de \textit{cocha\^{\i}nes} singulier de $X$ comme suit. \par Soit $E$ un $\Zmath$-module, $S^{p} = \text{Hom}_{\Zmath}(S_{p},E)$ le $\Zmath$-module des $\Zmath$-homomor\-phismes de $S_{p}$ dans $E$ (i.e. homomorphismes de groupes), et $d_{p} = \sideset{^t_{}}{^{}_{p+1}}{\partial} : S^{p} \longrightarrow S^{p+1}$ (On omet souvent aussi l'indice sur le $d$). Si $\langle\ ,\ \rangle$ d\ea signe le \textit{crochet de dualit\ea \ $E$-valu\ea } entre $S_{p}$ et $S^{p}$ $$\langle z, f\rangle = f(z) \quad \forall z \in S_{p}, \quad \forall f \in S^{p},$$ on a donc par d\ea finition $$\langle z , df \rangle = \langle \partial z , f \rangle \quad \forall z \in S_{p+1}, \quad \forall f \in S^{p}.$$ La suite $$ S^{0} \overset{d}{\longrightarrow} S^{1} \overset{d}{\longrightarrow} S^{2} \overset{d}{\longrightarrow} \ldots \overset{d}{\longrightarrow} S^{p} \overset{d}{\longrightarrow} S^{p+1} \overset{d}{\longrightarrow} \ldots $$ est le \textit{complexe de cocha\^{\i}nes} singulier de $X$ \ag \ coefficients dans $E$. On pose $Z^{p}(X,E) = \text{Ker}\ d_p \; p \geq 0$ et $B^{p}(X,E) = \text{Im} \ d_{p-1} \; p \geq 1, B^{0}(X,E) = \{0\}$ . Les \ea l\ea ments de $Z^{p}(X,E)$ sont appel\ea s \textit{$p$-cocycles} et ceux de $B^{p}(X,E)$ \textit{$p$-cobords}. Le $\Zmath$-module quotient $$H^{p}(X,E) = Z^{p}(X,E) \left/ B^{p}(X,E)\right. $$ est le \textit{$p$-i\eg me groupe de cohomologie singuli\eg re de $X$ \ag \ coefficients dans $E$}. Si $f$ et $g$ sont deux $p$-cocycles cohomologues, on notera $f \equiv g$; la classe de cohomologie de $f$ est not\ea e $[f]$. \subsection{} \begin{lemme} Pour tout $p \geq 0$, on a \par (i) $Z^{p}(X,E) = (B_{p}(X))^{\bot}$ \par (ii) $B^{p}(X,E) = (Z_{p}(X))^{\bot}.$ \end{lemme} \par D\ea monstration.\par (i) Pour $p \geqslant 0$ et $f \in S^{p}$, on a: $f \in Z^{p}(X,E) \Leftrightarrow df = 0 \Leftrightarrow \langle z , df \rangle = 0 \quad \forall z \in S_{p+1} \Leftrightarrow \langle \partial z , f \rangle = 0 \quad \forall z \in S_{p+1} \Leftrightarrow f \in (B_{p}(X))^{\bot}.$ \par (ii) Pour $p = 0$, $B^{0}(X,E) = \{0\}$ et $Z_{0}(X) = S_{0}$, donc $B^{0}(X,E) = (Z_{0}(X))^{\bot}.$ Supposons $p \geqslant 1.$ On a $B^{p}(X,E) \subset (Z_{p}(X))^{\bot}$ puisque $f \in B^{p}(X,E) \Rightarrow \exists g \in S^{p-1} \quad f = dg \Rightarrow \langle z , f \rangle = \langle z , dg \rangle = \langle \underbrace{\partial z}_{=0} , g \rangle = 0 \quad \forall z \in Z_{p}(X) \Rightarrow f \in (Z_{p}(X))^{\bot}.$\par R\ea ciproquement, $(Z_{p}(X))^{\bot} \subset B^{p}(X,E)$. En effet, soit $f \in (Z_{p}(X))^{\bot}.$ On d\ea finit $g \in \text{Hom}_{\Zmath}(B_{p-1}(X),E)$ par $$\langle \partial z , g \rangle = \langle z , f \rangle \quad \forall z \in S_{p}(X)$$ ($\langle z , f \rangle$ ne d\ea pend que de $\partial z$ et non du $z$ utilis\ea \ puisque $f \in (Z_{p}(X))^{\bot}$). Comme $S_{p-1}$ est un $\Zmath$-module libre, $g$ se prolonge \ag \ $S_{p-1}$ et alors $f = dg$. %%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{} Le lemme pr\ea c\ea dent implique que le dualit\ea \ entre $S_{p}$ et $S^{p}$ passe aux quotients et d\ea finit une forme bilin\ea aire sur $H_{p}(X) \times H^{p}(X,E)$ \ag \ valeurs dans $E$: $$\langle [z] , [f] \rangle = \langle z , f \rangle \quad \forall z \in Z_{p}(X) \quad \forall f \in Z^{p}(X,E).$$ D'o\ug\ un homomorphisme (application $\Zmath$-lin\ea aire) $$\alpha : H^{p}(X,E) \longrightarrow \text{Hom}_{\Zmath}(H_{p}(X),E)$$ d\ea fini par $$[f] \longmapsto \alpha([f]) = \langle\; \cdot\; , [f] \rangle.$$ L'homomorphisme $\alpha$ n'est pas toujours un isomorphisme: il est toujours surjectif, mais pas toujours injectif. Pour qu'il le soit, il suffit que $E$ soit un $\Zmath$-module \textit{divisible}, i.e. $\forall y \in E \; \forall n \in \Zmath\setminus \{0\} \quad \exists x\in E \quad y = n x$. \par En fait, on a un Th\ea or\eg me des coefficients universel pour la cohomologie: \begin{theorem} Pour tout $\Zmath$-module $E$, on a: $$H^{p}(X,E) = \text{Hom}_{\Zmath}\left(H_{p}(X),E\right) \; \oplus \; \text{Ext }\left( H_{p-1}(X) , E\right)$$ o\ug \ $\text{Ext }\left( H_{p-1}(X) , E\right)$ est un $\Zmath$-module qui est nul si $E$ est divisible ou si $H_{p-1}(X)$ est libre. \end{theorem} \par Les tableaux suivants sont des exemples pour comparer $\text{Ext}(A,B)$ et $\text{Tor}(A,B)$ dans le cas o\ug \ $A, B$ sont $\Zmath$ ou $\Zmath_m$. \par \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{| c | c c |} \hline Ext & $\Zmath$ & $\Zmath_n$\\ \hline $\Zmath$ & 0 & 0 \\ $\Zmath_m$ & $\Zmath_m$ & $\Zmath_{\text{pgcd}(m,n)}$\\ \hline \end{tabular} \qquad \begin{tabular}{| c | c c |} \hline Tor & $\Zmath$ & $\Zmath_n$\\ \hline $\Zmath$ & 0 & 0 \\ $\Zmath_m$ & $0$ & $\Zmath_{\text{pgcd}(m,n)}$\\ \hline \end{tabular} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Exemples} \subsubsection{} Si $H_{p}(X)$ et $H_{p-1}(X)$ sont finiment engendr\ea s, $$H_{p}(X) \cong \Zmath^{r} \oplus \; \Zmath_{m_1} \oplus \Zmath_{m_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{m_{\ell}}$$ $$H_{p-1}(X) \cong \Zmath^{s} \oplus \; \Zmath_{n_1} \oplus \Zmath_{n_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{n_{k}}.$$ Comme $\text{Hom}_{\Zmath}(\Zmath_{m},\Zmath) = \{0\}$ et que $\text{Ext}(A\oplus C,B) = \text{Ext}(A,B) \oplus \text{Ext}(C,B)$, on a: $$\text{Hom}_{\Zmath}\left(H_{p}(X),\Zmath\right) \cong \Zmath^{r}$$ $$\text{Ext }\left( H_{p-1}(X) , \Zmath\right) \cong \Zmath_{n_1} \oplus \Zmath_{n_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{n_{k}}.$$ D'o\ug \ : $$H^{p}(X,\Zmath) \cong \underbrace{\Zmath^{r}} _{\text{partie libre de }H_{p}(X)} \; \oplus \; \underbrace{\Zmath_{n_1} \oplus \Zmath_{n_2} \oplus \ldots \oplus \Zmath_{n_{k}}} _{\text{partie de torsion de }H_{p-1}(X)} $$ Donc $H^{p}(X,\Zmath)$ et $H_{p}(X)$ ont le m\^{e}me rang $r$. \subsubsection{} Si $\kmath$ est un corps commutatif, l'application $$\alpha : H^{p}(X,\kmath) \longrightarrow \text{Hom}_{\Zmath}(H_{p}(X),\kmath)$$ est un isomorphisme de $\Zmath$-modules. Mais le $\Zmath$-module $\text{Hom}_{\Zmath}(H_{p}(X),\kmath)$ est canoniquement isomorphe au $\Zmath$-module $\text{Hom}_{\kmath}\left(H_{p}(X) \,{\otimes}_{\Zmath}\, \kmath , \kmath\right)$ i.e. au \textit{dual du $\kmath$-espace vectoriel $H_{p}(X,\kmath)$}. Ainsi $H^{p}(X,\kmath)$ est un $\kmath$-espace vectoriel isomorphe au dual du $\kmath$-espace vectoriel $H_{p}(X,\kmath)$. \subsubsection{} Pour $X = \Smath^{n}$, on a $H_{p}(\Smath^{n}) = \{0\}$ si $p \neq 0,n$ et $H_{0}(\Smath^{n}) \cong H_{n}(\Smath^{n}) \cong \Zmath$. Donc $$H^{p}(\Smath^{n},\Zmath) \cong \text{Hom}_{\Zmath}\left(H_{p}(\Smath^{n}),\Zmath\right) \cong \begin{cases} \Zmath & \text{ si } p = 0 \text{ ou } p = n\\ \{0\} &\text{ si } 0 < p < n \text{ ou } p > n \end{cases}$$ i.e. la cohomologie est \ea gale \ag \ l'homologie. \subsubsection{} Pour $X = \Rmath P^{2}$, espace projectif r\ea el de dimension 2, on a: $$H_{0}(X) = \Zmath ,\quad H_{1}(X) \cong \Zmath_{2} ,\quad H_{p}(X) = \{0\} \quad \forall p \geq 2.$$ Donc $$H^{0}(X,\Zmath) \cong \Zmath ,\quad H^{1}(X,\Zmath) = \{0\}, \quad H^{2}(X,\Zmath) = \Zmath_{2} \not \cong H_{2}(X).$$ Ce genre de difficult\ea \ dispara\^{\i}t avec les coefficients dans un corps, par ex. \nolinebreak $\Rmath$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cohomologie de De Rahm de vari\ea t\ea s diff\ea rentiables} Soit $M$ une vari\ea t\ea \ diff\ea rentiable r\ea elle de classe $C^{\infty}$, de dimension finie $n$. Le corps de base est $\Rmath$. \subsection{champs de vecteurs} On appelle vecteur tangent au point $x_{0} =\gamma(t_{0})$ \ag \ la courbe (diff\ea rentiable) $t \longmapsto \gamma(t)$ de $M$ l'op\ea rateur $X_{x_{0}}$ sur l'alg\eg bre $\mathcal{F}_{x_{0}}$ des fonctions d\ea finies au voisinage de $x_{0}$ et de classe $C^{\infty}$ d\ea fini par $$X_{x_{0}}(f) = \left[ \frac{d}{dt} f(\gamma(t)) \right]_{t = t_{0}} \qquad \forall f \in \mathcal{F}_{x_{0}} .$$ On note $X_{x_{0}} = \dot{\gamma}(t_{0}) $. Cet op\ea rateur est une \textit{d\ea rivation} de l'alg\eg bre $\mathcal{F}_{x_{0}}$, i.e. il est lin\ea aire et $X_{x_{0}}(fg) = X_{x_{0}}(f) g(x_{0}) + f(x_{0}) X_{x_{0}}(g) \qquad \forall f,g \in \mathcal{F}_{x_{0}} .$ R\ea ciproquement, une d\ea rivation est de la forme $\dot{\gamma}(t_{0}) $ pour une courbe $\gamma$. \par L'ensemble des vecteurs tangents au point $x_{0}$ est donc l'espace vectoriel des d\ea rivations de l'alg\eg bre $\mathcal{F}_{x_{0}}$ ; on le note $T_{x_{0}}(M)$. \par Dans une carte locale $(u^{1}, \ldots , u^{n})$ de $M$, on a $$X_{x_{0}}(f) = \sum_{j =1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial u^{j}} \right)_{x_{0}} \left( \frac{d(u^{j} \circ \gamma)}{dt} \right)_{t_{0}}$$ Les op\ea rateurs $\left(\frac{\partial}{\partial u^{j}}\right)_{x_{0}} \quad (1 \leqslant j \leqslant n)$ forment une base de $T_{x_{0}}(M)$ appel\ea e \textit{base canonique}. \par On appelle champ de vecteurs sur $M$ une application $ X: x \longmapsto X_{x} \in T_{x}(M)$. Dans le domaine d'une carte de $M$, on a $X_{x} = \sum_{j=1}^{n} \xi^{j}(x) \left(\frac{\partial}{\partial u^{j}}\right)_{x}$. On dit que le champ de vecteurs est de classe $C^{\infty}$ sur $M$ si les fonctions $\xi^{j} $ sont de classe $C^{\infty}$ pour toute carte de $M$. \par L'ensemble des champs de vecteurs $C^{\infty}$ est l'ensemble des \textit{d\ea rivations de l'alg\eg bre $C^{\infty}(M)$} des fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $M$: si l'on note $X(f)$ la fonction $x \longmapsto X_{x}(f)$, on a: $$X(fg) = X(f) g + f X(g) \qquad \forall f,g \in C^{\infty}(M).$$ \par Le \textit{crochet} de deux champs de vecteurs $X,Y$ est le champ de vecteurs d\ea fini par $$\left[X,Y\right] (f) = X (Y(f)) - Y(X(f))$$ On v\ea rifie facilement que cette formule d\ea finit bien une d\ea rivation de $C^{\infty}(M)$. \par On notera $\mathfrak{D}^{1}(M)$ l'espace vectoriel des champs de vecteurs de classe $C^{\infty}$ sur $M$. L'application $(X,Y) \longmapsto [X,Y]$ munit $\mathfrak{D}^{1}(M)$ d'une structure d'\textit{alg\eg bre de Lie}: elle est bilin\ea aire, antisym\ea trique et v\ea rifie l'\textit{identit\ea \ de Jacobi}: $$\left[X,[Y,Z]\right] + \left[Y,[Z,X]\right] + \left[Z,[X,Y]\right] = 0 \qquad \forall X,Y,Z \in \mathfrak{D}^{1}(M).$$ \subsection{champs de $p$-formes} \par On appelle champ de 1-formes sur $M$ une application $$ \omega : x \longmapsto \omega_{x} \in T_{x}^{*}(M) \text{ (dual de l'espace vectoriel $T_{x}(M)$)}.$$ Dans le domaine d'une carte de $M$, on a $\omega_{x} = \sum_{j=1}^{n} \eta_{j}(x) \; \omega_{x}^{j}$, o\ug \ les $\omega_{x}^{j} = \left(du^{j}\right)_{x}$ sont les \ea l\ea ments de la base de $T_{x}^{*}(M)$ duale des $\left(\frac{\partial}{\partial u^{j}}\right)_{x}$, i.e. $\langle \frac{\partial}{\partial u^{j}} , du^{\ell} \rangle = \delta_{j,\ell}$ (symbole de Kronecker) en omettant les indices $x$ et en d\ea signant par $\langle\ ,\ \rangle$ le crochet de dualit\ea \ entre $T_{x}(M)$ et $T_{x}^{*}(M)$. On dit que le champ de $1$-formes est de classe $C^{\infty}$ sur $M$ si les fonctions $\eta_{j} $ sont de classe $C^{\infty}$ pour toute carte de $M$. \par On appelle champ de $p$-formes sur $M$ une application $$ \omega : x \longmapsto \omega_{x} \in \bigwedge^{p} T_{x}^{*}(M)$$ o\ug\ $\bigwedge^{p} T_{x}^{*}(M)$ est l'espace vectoriel des formes multilin\ea aires altern\ea es sur $\underbrace{T_{x}(M) \times \ldots \times T_{x}(M)}_{p \text{ fois}}$. \par Dans le domaine d'une carte de $M$, on a $$\omega_{x} = \sum_{1 \leqslant i_{1} < \ldots < i_{p} \leqslant n} \eta_{i_{1}, \ldots, i_{p}}(x) \quad \omega_{x}^{i_{1}} \wedge \ldots \wedge \omega_{x}^{i_{p}} $$ o\ug\ les $\omega_{x}^{i_{1}} \wedge \ldots \wedge \omega_{x}^{i_{p}}$ sont les produits ext\ea rieurs des 1-formes de base (voir section suivante). On dit que le champ de $p$-formes est de classe $C^{\infty}$ sur $M$ si les fonctions $\eta_{i_{1}, \ldots, i_{p}}$ sont de classe $C^{\infty}$ pour toute carte de $M$. \par On notera $\mathfrak{D}_{p}(M)$ l'espace vectoriel des champs de $p$-formes de classe $C^{\infty}$ sur $M$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{produit ext\ea rieur} Le corps de base est ici $\Rmath$, mais les r\ea sultats sont les m\^{e}mes pour tout corps commutatif de caract\ea ristique $\neq 2$ (pour la notion de forme altern\ea e). \subsubsection{} \begin{theorem} Soit $E$ un espace vectoriel. Pour tout $p \geqslant 2$ il existe un espace vectoriel unique \ag \ isomorphisme pr\eg s not\ea \ $\bigwedge^{p} E$ tel que:\par 1. Il existe une application $p$-lin\ea aire altern\ea e $\pi : \underbrace{E \times \ldots \times E}_{p \text{ fois}} \longrightarrow \bigwedge^{p} E$ dont l'image engendre $\bigwedge^{p} E$ .\par 2. Pour tout espace vectoriel $F$ et toute application $p$-lin\ea aire altern\ea e $f : \underbrace{E \times \ldots \times E}_{p \text{ fois}} \longrightarrow F$ , il existe une unique application lin\ea aire $g : \bigwedge^{p} E \longrightarrow F$ rendant commutatif le diagramme \begin{equation*} \begin{CD} \underbrace{E \times \ldots \times E}_{p \text{ fois}} @) f )) F \\ @V\pi VV g \\ \bigwedge^{p} E \end{CD} \end{equation*} On note pour $x_{1}, \ldots , x_{p} \in E : \; \pi(x_{1}, \ldots , x_{p}) = x_{1}\wedge \ldots \wedge x_{p}.$ \end{theorem} Pour $p = 0$, on pose $\bigwedge^{0} E = \Rmath$, et pour $p = 1$, $\bigwedge^{1} E = E$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{propri\ea t\ea s essentielles du produit ext\ea rieur} (i) si $(e_{i})_{1 \leqslant i \leqslant n}$ est une base de $E$, $(e_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge e_{i_{p}})_{1 \leqslant i_{1} < \ldots < i_{p} \leqslant n}$ est une base de $\bigwedge^{p} E$. Donc $\text{dim }\bigwedge^{p} E = C_{n}^{p}$ (coefficient bin\^{o}mial) pour $0 \leqslant p \leqslant n$ et $\bigwedge^{p} E = \{0\}$ si $p > n$. \par (ii) Il existe une application bilin\ea aire $h : \left(\bigwedge^{p} E\right) \times \left(\bigwedge^{q} E\right) \longrightarrow \bigwedge^{p+q} E$ unique telle que pour tous $x_{1}, \ldots, x_{p} , y_{1}, \ldots , y_{q} \in E$ $$h(x_{1}\wedge \ldots \wedge x_{p},y_{1}\wedge \ldots \wedge y_{q}) = x_{1}\wedge \ldots \wedge x_{p} \wedge y_{1}\wedge \ldots \wedge y_{q} %\qquad \forall .$$ \par On note $h(z,w) = z \wedge w$ pour $z \in \bigwedge^{p} E , \; w \in \bigwedge^{q} E.$ \par On a: $$ z \wedge w = (-1)^{pq} \; w \wedge z \qquad \forall z \in \bigwedge^{p} E \quad \forall w \in \bigwedge^{q} E.$$ \par (iii) La dualit\ea \ entre $E$ et son dual $E^{*}$ induit une dualit\ea \ entre $\bigwedge^{p} E$ et $\bigwedge^{p} E^{*}$ telle que pour tous $ x_{1}, \ldots, x_{p} \in E , \; \omega^{1}, \ldots , \omega^{p} \in E^{*}$ $$\langle x_{1}\wedge \ldots \wedge x_{p}, \omega^{1}\wedge \ldots \wedge \omega^{p}\rangle = \text{det }(\langle x_{i},\omega^{j} \rangle ) .$$ Nous identifierons par cette dualit\ea \ $\bigwedge^{p} E^{*}$ \ag \ $\left(\bigwedge^{p} E\right)^{*}$, ce dernier \ea tant identifi\ea \ \ag \ l'espace vectoriel des formes $p$-lin\ea aires altern\ea es sur $E$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{diff\ea rentielle} Soit $\Phi : M \longrightarrow M$ un $C^{\infty}$-diff\ea omorphisme de $M$. Sa diff\ea rentielle $\Phi_{*_{x}}$ au point $x \in M$ est l'endomorphisme de $T_{x}(M)$ qui associe \ag \ tout $X_{x} \in T_{x}(M)$ le vecteur tangent $\Phi_{*_{x}}(X_{x}) \in T_{\Phi (x)}(M)$ d\ea fini par: $$\Phi_{*_{x}}(X_{x}) (f) = X_{x}(f \circ \Phi) \qquad \forall f \in \mathcal{F}_{\Phi (x)}.$$ On d\ea finit $\Phi_{*}(X) \in \mathfrak{D}^{1}(M)$ pour $X \in \mathfrak{D}^{1}(M)$ par $\left(\Phi_{*}(X)\right)_{\Phi(x)} = \Phi_{*_{x}}(X_{x}) \; \forall x \in M$. On a $$\Phi_{*}(X) (f) \circ \Phi = X(f \circ \Phi) \qquad \forall f \in C^{\infty}(M).$$ Noter que $\left[\Phi_{*}(X),\Phi_{*}(Y)\right] = \Phi_{*}([X,Y)] \quad \forall X, Y \in \mathfrak{D}^{1}(M)$ car pour tout $f \in C^{\infty}(M)$, $\Phi_{*}(X)\left(\Phi_{*}(Y)(f)\right) \circ \Phi = X\left(\Phi_{*}(Y)(f) \circ \Phi\right) = X\left(Y(f \circ \Phi)\right).$ \par On d\ea finit de m\^{e}me $\Phi^{*}_{x} = \sideset{^t}{}\Phi_{*_{x}} : T_{\Phi(x)}^{*}(M) \longrightarrow T_{x}^{*}(M)$ par $$\left\langle X_{x} , \Phi^{*}_{x}\left(\omega_{\Phi(x)}\right)\right\rangle = \left\langle \Phi_{*_{x}} \left(X_{x}\right) , \omega_{\Phi(x)}\right\rangle \qquad \forall X_{x} \in T_{x}(M), \; \forall \omega_{\Phi(x)} \in T_{\Phi(x)}^{*}(M).$$ Cela permet de d\ea finir $ \Phi^{*}\left(\omega\right) \in \mathfrak{D}_{1}(M)$ pour $\omega \in \mathfrak{D}_{1}(M)$ par $ \left(\Phi^{*}\left(\omega\right)\right)_{x} = \Phi^{*}_{x}\left(\omega_{\Phi(x)}\right)$ et l'on a: $$\left\langle X , \Phi^{*}\left(\omega\right)\right\rangle = \left\langle \Phi_{*} \left(X\right) , \omega\right\rangle \circ \Phi \qquad \forall X \in \mathfrak{D}^{1}(M), \; \forall \omega \in \mathfrak{D}_{1}(M).$$ Si $ \omega_{\Phi(x)} \in \bigwedge^{p} T_{\Phi(x)}^{*}(M)$, on d\ea finit $\Phi^{*}_{x}(\omega_{\Phi(x)}) \in \bigwedge^{p} T_{x}^{*}(M)$ par $$ \Phi^{*}_{x}\left(\omega_{\Phi(x)}\right)\left((X_{1})_{x}, \ldots , (X_{p})_{x}\right) = \left(\omega_{\Phi(x)}\right) \left(\Phi_{*_{x}}\left((X_{1})_{x}\right), \ldots ,\Phi_{*_{x}}\left((X_{p})_{x}\right)\right)$$ pour tous $(X_{1})_{x}, \ldots , (X_{p})_{x} \in T_{x}(M).$ Cela permet encore de d\ea finir $ \Phi^{*}\left(\omega\right)$ pour $\omega \in \mathfrak{D}_{p}(M)$ et l'on a: $$ \Phi^{*}\left(\omega\right)\left(X_{1}, \ldots , X_{p}\right) = \left(\omega \left(\Phi_{*}(X_{1}), \ldots ,\Phi_{*}(X_{p})\right)\right) \circ \Phi$$ pour tous $X_{1}, \ldots , X_{p} \in \mathfrak{D}^{1}(M) \quad \forall \omega \in \mathfrak{D}_{p}(M).$ \par Si $\Psi : M \longrightarrow N$ est une application de classe $C^{\infty}$ de $M$ dans une vari\ea t\ea \ $N$, la diff\ea rentielle $\Psi_{*_{x}} : T_{x}(M) \longrightarrow T_{\Psi (x)}(N)$ est d\ea finie de fa\c{c}on analogue. Cela permet encore de d\ea finir $ \Psi^{*}\left(\omega\right) \in \mathfrak{D}_{p}(M)$ pour $\omega \in \mathfrak{D}_{p}(N).$ Noter cependant que si $\Psi$ n'est pas un $C^{\infty}$-diff\ea omorphisme, le champ de vecteurs $\Psi_{*}(X)$ n'est pas d\ea fini. %%%%%%%%%% \subsection{cohomologie de De Rahm} \subsubsection{} Soit $\mathfrak{D}(M)= \bigoplus_{p = 0}^{n} \; \mathfrak{D}_{p}(M)$, o\ug \ $\mathfrak{D}_{0}(M) = C^{\infty}(M)$. Le produit ext\ea rieur d'une $p$-forme et d'une $q$-forme est d\ea fini point par point: $(\omega \wedge \pi)_{x} = \omega_{x} \wedge \pi_{x}.$ \par $\mathfrak{D}(M)$ muni du produit ext\ea rieur est une alg\eg bre gradu\ea e anticommutative. \subsubsection{} Il existe une unique \textit{antid\ea rivation} $d$ appel\ea e \textit{diff\ea rentielle ext\ea rieure} de $\mathfrak{D}(M)$ qui prolonge la diff\ea rentielle des fonctions sur $\mathfrak{D}_{0}(M)$, i.e. $$d (\omega \wedge \pi) = (d\omega) \wedge \pi + (-1)^{p} \omega \wedge d\pi \quad \forall \omega \in \mathfrak{D}_{p}(M), \;\forall \pi \in \mathfrak{D}(M).$$ \par On a $d^{2} = 0$, d'o\ug \ un complexe de cocha\^{\i}nes: \begin{multline*} \mathfrak{D}_{0}(M) \overset{d}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{1}(M) \overset{d}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{2}(M) \overset{d}{\longrightarrow} \ldots \overset{d}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{p}(M) \overset{d}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{p+1}(M) \overset{d}{\longrightarrow} \ldots \\ \ldots \overset{d}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{n}(M) \overset{d}{\longrightarrow} \{0\} . \end{multline*} C'est le \textit{complexe de De Rahm}. On en d\ea duit la \textit{cohomologie de De Rahm}: si $d_{p}$ est la restriction de $d$ \ag \ $\mathfrak{D}_{p}(M)$, on pose $Z^{p}_{DR}(M) = \text{Ker}\ d_p \; p \geq 0$ et $B^{p}_{DR}(M) = \text{Im} \ d_{p-1} \; p \geq 1, B^{0}_{DR}(M) = \{0\}$ . Les \ea l\ea ments de $Z^{p}_{DR}(M)$ sont appel\ea s \textit{$p$-cocycles} et ceux de $B^{p}_{DR}(M)$ \textit{$p$-cobords}. L'espace vectoriel quotient $$H^{p}_{DR}(M) = Z^{p}_{DR}(M) \left/ B^{p}_{DR}(M)\right. $$ est le \textit{$p$-i\eg me groupe de cohomologie de De Rahm}. $H^{p}_{DR}(M) = \{0\}$ pour $p > n$. \subsubsection{} Pour $\omega \in \mathfrak{D}_{p}(M), \quad X_{1}, \ldots ,X_{p+1} \in \mathfrak{D}^{1}(M)$, \begin{multline*} d\omega (X_{1}, \ldots ,X_{p+1}) = \sum_{i=1}^{p+1} (-1)^{i-1} \; X_{i}\left(\omega(X_{1}, \ldots, \widehat{X_{i}}, \ldots,X_{p+1})\right)\\ + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant p+1} (-1)^{i+j} \; \omega\left([X_{i},X_{j}], X_{1},\ldots,\widehat{X_{i}},\ldots,\widehat{X_{j}},\ldots, X_{p+1}\right). \end{multline*} %%%%%%%%%% \section{Cohomologie de l'alg\eg bre de Lie d'un groupe de Lie} \subsection{champs invariants \ag \ gauche} Soit $G$ un \textit{groupe de Lie}, i.e. un groupe muni d'une structure de vari\ea t\ea \ de classe $C^{\infty}$, r\ea elle de dimension finie, telle que la multiplication de $G$ et le passage \ag \ l'inverse dans $G$ soient des applications de classe $C^{\infty}$. \par Pour $a \in G$, on note $L_{a}$ et $R_{a}$ les \textit{translations} \ag \ gauche et \ag \ droite par $a$ dans $G$: $L_{a}(x) = ax, R_{a}(x) = xa \quad \forall x \in G$. Un champ de vecteurs $X \in \mathfrak{D}^{1}(G)$ est dit \textit{invariant \ag \ gauche} si $(L_{a})_{*}(X) = X \quad \forall a \in G$. Cela s'\ea crit $(L_{a})_{*_{x}}(X_{x}) = X_{ax} \quad \forall a,x \in G$, ou encore $(L_{a})_{*_{e}}(X_{e}) = X_{a} \quad \forall a \in G$, en notant $e$ l'\ea l\ea ment neutre de $G$. Une $p$-forme $\omega \in \mathfrak{D}^{p}(G)$ est dite \textit{invariante \ag \ gauche} si $(L_{a})^{*}(\omega) = \omega \quad \forall a \in G$. Cela s'\ea crit $(L_{a})^{*}_{x}(\omega_{ax}) = \omega_{x} \quad \forall a,x \in G$, ou encore $(L_{a^{-1}})^{*}_{a}(\omega_{e}) = \omega_{a} \quad \forall a \in G$. Les $p$-formes invariantes \ag \ gauche sur $G$ forment un sous-espace vectoriel $\mathfrak{D}_{p}^{\text{L}}(G)$ de $\mathfrak{D}_{p}(G)$. \par Les champs de vecteurs invariants \ag \ gauche forment une sous-alg\eg bre de Lie $\mathfrak{D}^{1}_{\text{L}}(G)$ de $ \mathfrak{D}^{1}(G)$. On a en effet pour tous $X, Y \in \mathfrak{D}^{1}_{\text{L}}(G) , \quad a \in G$: $$\left(L_{a}\right)_{*}\left([X,Y]\right) = \left[\left(L_{a}\right)_{*}(X), \left(L_{a}\right)_{*}(Y)\right] = [X,Y]$$ \subsection{alg\eg bre de Lie} Soit $\g = T_{e}(G)$. Pour all\ea ger les notations, dor\ea navant un \ea l\ea ment de $\g$ sera not\ea \ $X$ au lieu de $X_{e}$. Pour $X \in \g$, il existe un unique champ de vecteur invariant \ag \ gauche $\tilde{X}$ telle que $(\tilde{X})_{e} = X$: il est d\ea fini par $\tilde{X}_{x} = \left(L_{x}\right)_{*_{e}}(X).$ \par On pose pour $X,Y \in \g$: $ [X,Y] = \left[\tilde{X},\tilde{Y}\right]_{e}$, de sorte que $$\left[\tilde{X},\tilde{Y}\right] = \widetilde{[X,Y]} \qquad \forall X,Y \in \g.$$ Le crochet $[\; ,\; ]$ munit $\g$ d'une structure d'alg\eg bre de Lie, isomorphe \ag \ l'alg\eg bre de Lie $\mathfrak{D}^{1}_{\text{L}}(G)$ par l'application $X \longmapsto \tilde{X}$. On dit que $\g$ est \textit{l'alg\eg bre de Lie du groupe de Lie $G$}. %%%%% \subsection{application exponentielle} \subsubsection{} On appelle \textit{sous-groupe \ag \ un param\eg tre } du groupe de Lie $G$ un homorphisme continu de $\Rmath$ dans $G$, i.e. une application continue $t \mapsto a(t)$ telle que $a(t + s) = a(t) a(s) \quad \forall t, s \in \Rmath.$ Un tel homomorphisme est n\ea cessairement de classe $C^{\infty}$ (Th\ea or\eg me de Cartan). Un point fondamental est le suivant: pour tout $X$ dans l'alg\eg bre de Lie $\g$ de $G$, il existe un sous-groupe \ag \ un param\eg tre unique $a_{X}$ tel que $\dot{a}_{X}(0) = X$. $X$ est appel\ea \ le \textit{g\ea n\ea rateur} du sous-groupe \ag \ un param\eg tre $a_{X}$. \subsubsection{} L'application exponentielle de $\g$ dans $G$ est d\ea finie par $\e X = a_{X}(1)$. On a alors $a_{X}(t) = \e tX \quad \forall t \in \Rmath, \forall X \in \g. $ En effet, pour tout $t \in \Rmath$, l'application $s \mapsto b(s) = a_{X}(ts)$ est un sous-groupe \ag \ un param\eg tre, dont le g\ea n\ea rateur est $\dot{b}(0) = t \dot{a}(0) = tX,$ donc $b(s) = a_{tX}(s) \quad \forall s \in \Rmath,$ et en prenant $s = 1$, $b(1) = a_{X}(t) = a_{tX}(1) = \e tX \quad \forall t \in \Rmath.$ \subsubsection{} Si $G$ est le groupe $GL(n, \Rmath)$ des matrices inversibles $n \times n$ \ag \ coefficients r\ea els, l'alg\eg bre de Lie de $G$ est l'alg\eg bre $\g = gl(n,\Rmath)$ des matrices $n \times n$ \ag \ coefficients r\ea els avec le crochet $[A, B] = A B - B A .$ L'application exponentielle de $\g$ dans $G$ est l'exponentielle habituelle d'une matrice: $\e X = e^{X} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{X^{k}}{k!}.$ En effet, si $X \in gl(n,\Rmath), \frac{a_{X}(t+s) - a_{X}(t)}{s} = \frac{a_{X}(s) - Id}{s} a_{X}(t)$ donc la fonction matricielle $a_{X}$ est une solution de l'\ea quation diff\ea rentielle $\frac{d}{dt} Y = X Y$ telle que $a_{X}(0) = Id.$ Mais on sait que l'application $t \mapsto e^{tX} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}X^{k}}{k!}$ est une solution de cette \ea quation diff\ea rentielle v\ea rifiant la m\^{e}me condition initiale. Donc $a_{tX} = e^{tX} \quad \forall t \in \Rmath.$ \subsection{une formule fondamentale} Pour tout $\omega \in \bigwedge^{p} \g^{*}$, il existe une unique $p$-forme $\tilde{\omega}$ invariante \ag \ gauche sur $G$ telle $\tilde{\omega}_{e} = \omega$. Noter que pour tous $X_{1}, \ldots , X_{p} \in \g$, $\tilde{\omega}(\widetilde{X_{1}}, \ldots, \widetilde{X_{p}})$ est la fonction constante sur $G$ \ea gale \ag \ $\omega (X_{1}, \ldots , X_{p}).$ \begin{lemme} On a $d\tilde{\omega} = \widetilde{d\omega}$, o\ug \ $d : \bigwedge^{p} \g^{*} \longrightarrow \bigwedge^{p+1} \g^{*}$ est d\ea fini par $$d\omega (X_{1}, \ldots ,X_{p+1}) = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant p+1} (-1)^{i+j} \; \omega\left([X_{i},X_{j}], X_{1},\ldots,\widehat{X_{i}},\ldots,\widehat{X_{j}},\ldots, X_{p+1}\right)$$ pour $X_{1}, \ldots , X_{p+1} \in \g$. \end{lemme} \par D\ea monstration.\par Il suffit de v\ea rifier la formule sur des champs de vecteurs invariants \ag \ gauche. Pour tous $X_{1}, \ldots ,X_{p+1} \in \g$, \begin{multline*} d\tilde{\omega} (\widetilde{X_{1}}, \ldots ,\widetilde{X_{p+1}}) = \sum_{i=1}^{p+1} (-1)^{i-1} \; \widetilde{X_{i}}\left(\tilde{\omega}(\widetilde{X_{1}}, \ldots, \widehat{\widetilde{X_{i}}}, \ldots,\widetilde{X_{p+1}})\right)\\ + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant p+1} (-1)^{i+j} \; \tilde{\omega}\left([\widetilde{X_{i}},\widetilde{X_{j}}], \widetilde{X_{1}},\ldots, \widehat{\widetilde{X_{i}}},\ldots,\widehat{\widetilde{X_{j}}},\ldots, \widetilde{X_{p+1}}\right). \end{multline*} Mais $$\widetilde{X_{i}}\left(\tilde{\omega}(\widetilde{X_{1}}, \ldots, \widehat{\widetilde{X_{i}}}, \ldots,\widetilde{X_{p+1}})\right) = 0$$ puisque $\tilde{\omega}(\widetilde{X_{1}}, \ldots, \widehat{\widetilde{X_{i}}}, \ldots,\widetilde{X_{p+1}})$ est une fonction constante sur $G$, et d'autre part \begin{multline*} \tilde{\omega}\left([\widetilde{X_{i}},\widetilde{X_{j}}], \widetilde{X_{1}},\ldots, \widehat{\widetilde{X_{i}}},\ldots,\widehat{\widetilde{X_{j}}},\ldots, \widetilde{X_{p+1}}\right) = \\ \omega\left([X_{i},X_{j}], X_{1},\ldots,\widehat{X_{i}},\ldots,\widehat{X_{j}},\ldots, X_{p+1}\right). \end{multline*} \subsection{cohomologie de l'alg\eg bre de Lie} Si $d_{p}$ est la restriction de $d$ \ag \ $\bigwedge^{p}\g^{*}$ avec $d_{0} = 0$, on a $d_{p} \circ d_{p-1} = 0 \; \forall p \geqslant 1$, d'o\ug \ un complexe de cocha\^{\i}nes: \begin{multline*} C^{0}(\g,\Rmath) = \Rmath = \bigwedge^{0}\g^{*} \overset{d_{0} = 0}{\longrightarrow} C^{1}(\g,\Rmath) = \g^{*} =\bigwedge^{1}\g^{*}\overset{d_{1}}{\longrightarrow} C^{2}(\g,\Rmath) = \bigwedge^{2}\g^{*} \overset{d_{2}}{\longrightarrow} \ldots \\ \ldots \overset{d_{p-1}}{\longrightarrow} C^{p}(\g,\Rmath) = \bigwedge^{p}\g^{*} \overset{d_{p}}{\longrightarrow} \ldots \overset{d_{n-1}}{\longrightarrow} C^{n}(\g,\Rmath) = \bigwedge^{n}\g^{*} \cong \Rmath \overset{d_{n} = 0}{\longrightarrow} \{0\} \end{multline*} o\ug \ $n = \text{dim } \g.$ \par On en d\ea duit la \textit{cohomologie d'alg\eg bre de Lie} de $\g$: on pose $Z^{p}(\g,\Rmath) = \text{Ker}\ d_p \; p \geq 0$ et $B^{p}(\g,\Rmath) = \text{Im} \ d_{p-1} \; p \geq 1, B^{0}(\g,\Rmath) = \{0\}$ . Les \ea l\ea ments de $Z^{p}(\g,\Rmath)$ sont appel\ea s \textit{$p$-cocycles} et ceux de $B^{p}(\g,\Rmath)$ \textit{$p$-cobords}. L'espace vectoriel quotient $$H^{p}(\g,\Rmath) = Z^{p}(\g,\Rmath) \left/ B^{p}(\g,\Rmath)\right. $$ est le \textit{$p$-i\eg me groupe de cohomologie \ag \ coefficients r\ea els de $\g$}. $H^{p}(\g,\Rmath) = \{0\}$ pour $p > n$. On notera aussi $H^{p}(\g,\Rmath) = H^{p}_{\Rmath}(\g), Z^{p}(\g,\Rmath) = Z^{p}_{\Rmath}(\g), B^{p}(\g,\Rmath) = B^{p}_{\Rmath}(\g).$ \subsection{exemple} $H^{1}_{\Rmath}(\g) = Z^{1}_{\Rmath}(\g) = \left\{ \omega \in \g^{*} \; ; \; \omega([X,Y]) = 0 \; \forall X,Y \in \g \right\}$ est le sous-espace de $\g^{*}$ des formes lin\ea aires qui s'annulent sur $[\g,\g]$ (sous-espace vectoriel engendr\ea\ par les $[X,Y], \; X,Y \in \g$) , donc est isomorphe \ag \ $\left( \g \left/ {[\g,\g]} \right. \right)^{*}$. %%%%%%%%%%%%%%%% \section{Th\ea or\eg me de De Rahm} \subsection{cohomologie $C^{\infty}$} \subsubsection{} Pour $M$ vari\ea t\ea \ $C^{\infty}$, on a d\ea fini l'homologie et la cohomologie singuli\eg res. \par On peut aussi d\ea finir l'homologie et la cohomologie singuli\eg res \textit{de classe $C^{\infty}$} en utilisant des $p$-simplexes singuliers $\sigma$ de classe $C^{\infty}$, i.e. $\sigma : \Delta_{p} \longrightarrow M$ est la restriction \ag \ $\Delta_{p}$ d'une application $\sigma^{\prime} : U \longrightarrow M$ de classe $C^{\infty}$ dans un voisinage ouvert $U$ de $\Delta_{p}$. \par L'homologie (resp. la cohomologie) singuli\eg re de classe $C^{\infty}$ est isomorphe \ag \ l'homologie (resp. la cohomologie) singuli\eg re: pour tout $\Zmath$-module $E$, $$ H_{p}(M,E) \cong H_{p}^{C^{\infty}}(M,E)$$ $$ H^{p}(M,E) \cong H^{p}_{C^{\infty}}(M,E)$$ \subsubsection{} Si $\sigma : \Delta_{p} \longrightarrow M$ est un $p$-simplexe singulier de classe $C^{\infty}$ et si $\omega \in \mathfrak{D}_{p}(M)$, on a $\left(\sigma^{\prime}\right)^{*}(\omega) \in \mathfrak{D}_{p}(U)$ avec $U$ comme ci-dessus. %L'int\ea grale $\int_{\overset{\circ}{\overset{\frown}{\Delta_{p}}}} L'int\ea grale $\int_{\Delta_{p}} (\sigma^{\prime})^{*}(\omega)$ est bien d\ea finie et ne d\ea pend pas du prolongement $\sigma^{\prime}$ utilis\ea . On la note $\int_{\sigma} \omega.$ Si $z \in S_{p}^{C^{\infty}}(M,\Rmath)$ est une $p$-cha\^{\i}ne de classe $C^{\infty}$, on d\ea finit $\int_{z} \omega$ par lin\ea arit\ea . \subsection{ Th\ea or\eg me de De Rahm} \begin{theorem} Si $M$ est \ag \ base d\ea nombrable d'ouverts (e.g. $M$ connexe), $$H^{p}_{DR}(M) \cong H^{p}_{C^{\infty}}(M,\Rmath) \cong H^{p}(M,\Rmath).$$ \end{theorem} \smallskip On peut expliciter ici l'isomorphisme de De Rahm $$\Psi : H^{p}_{DR}(M) \longrightarrow H^{p}(M,\Rmath).$$ Posons pour $\omega \in \mathfrak{D}_{p}(M), z \in S_{p}^{C^{\infty}}(M,\Rmath)$:\qquad $\langle\langle z , \omega \rangle\rangle = \int_{z} \omega$. \\ D'apr\eg s la formule de Stokes, on a: $$ \langle\langle \partial \zeta , \omega \rangle\rangle = \int_{\partial \zeta} \omega = \int_{\zeta} d\omega \qquad \forall \omega \in \mathfrak{D}_{p}(M), \quad \forall \zeta \in S_{p+1}^{C^{\infty}}(M,\Rmath) $$ donc $$Z^{p}_{DR}(M) \subset \left(B_{p}^{C^{\infty}}(M,\Rmath)\right)^{\perp}$$ $$Z_{p}^{C^{\infty}}(M,\Rmath) \subset \left(B^{p}_{DR}(M) \right)^{\perp}.$$ Ainsi, la forme $\Rmath$-bilin\ea aire $\langle \langle \; ,\; \rangle \rangle $ sur $Z_{p}^{C^{\infty}}(M,\Rmath) \times Z^{p}_{DR}(M)$ passe aux quotients et d\ea finit une forme bilin\ea aire sur $ H^{p}_{C^{\infty}}(M,\Rmath) \times H^{p}_{DR}(M)$ par $$\langle \langle [z] ,[\omega] \rangle \rangle = \langle\langle z , \omega \rangle\rangle.$$ D'o\ug \ une application $$\Psi : H^{p}_{DR}(M) \longrightarrow \left(H_{p}^{C^{\infty}}(M,\Rmath)\right)^{*} \cong \left(H_{p}(M,\Rmath)\right)^{*}.$$ Mais on a vu que $H^{p}(M,\Rmath)$ est un $\Rmath$-espace vectoriel isomorphe au dual du $\Rmath$-espace vectoriel $H_{p}(M,\Rmath)$. Si l'on identifie $\left(H_{p}(M,\Rmath)\right)^{*}$ \ag \ $H^{p}(M,\Rmath)$, $\Psi$ est l'isomorphisme de De Rahm. %%%%%%%%%%%%%%%% \section{ Dualit\ea\ de Poincar\ea \ et application au cas compact} \subsection{dualit\ea\ de Poincar\ea} \subsubsection{orientabilit\ea} Soit $M$ un vari\ea t\ea \ de dimension $n$, $\phi = (u^{1}, \ldots , u^{n}), \psi = (v^{1}, \ldots , v^{n})$ des cartes de $M$ de domaines respectifs $U,V$, et $f$ une fonction de classe $C^{\infty}$ sur $M$ \ag \ support compact $K$ inclus dans $U \cap V$.\par Si $J = \frac{D(u^{1}, \ldots , u^{n})}{D(v^{1}, \ldots , v^{n})}$ est le jacobien, on a en identifiant un point $x$ de $U \cap V$ \ag \ son image par $\phi$ ou $\psi$: $$ f \, du^{1} \wedge \ldots \wedge du^{n} = f \, J\, dv^{1} \wedge \ldots \wedge dv^{n}.$$ D'autre part, la formule de changement de variable dans les int\ea grales s'\ea crit $$\int_{\phi(K)} f(\phi^{-1}(u^{1}, \ldots , u^{n})) \, du^{1} \ldots du^{n} = \int_{\psi(K)} f(\psi^{-1}(v^{1}, \ldots , v^{n})) \, |J| \, dv^{1} \ldots dv^{n}.$$ Cette formule fait intervenir la \textit{valeur absolue} du jacobien. Donc pour que l'on puisse d\ea finir l'int\ea grale de la $n$-forme $\omega = f \, du^{1} \wedge \ldots \wedge du^{n}$ par la formule $$\int_{M} \omega = \int_{\phi(K)} f(\phi^{-1}(u^{1}, \ldots , u^{n})) \, du^{1} \ldots du^{n}$$ il suffit que le jacobien soit \textit{positif} pour tout changement de carte, i.e. l'atlas de la vari\ea t\ea \ $M$ est tel que le jacobien soit positif pour tout changement de carte. Lorsqu'il existe un tel atlas de $M$, on dit que $M$ est \textit{orientable}. \par Nous noterons $\left(\D_{p}(M)\right)_{c}$ l'espace de $p$-formes \textit{\ag \ support compact} sur $M$.\par Si on suppose $M$ orientable, on peut donc d\ea finir l'int\ea grale $\int_{M} \omega $ pour toute $\omega \in \left(\D_{n}(M)\right)_{c}$ en utilisant une partition de l'unit\ea \ subordonn\ea e \ag \ un recouvrement fini du support de $\omega $ par des domaines de cartes. \par Il est facile de voir que $\int_{M} \, d\pi = 0 \quad \forall \pi \in \left(\D_{n-1}(M)\right)_{c}.$ %%%%%%%%% \subsubsection{cohomologie de De Rham \ag \ support compact} On a un \textit{complexe de cocha\^{\i}nes \ag \ supports compacts}: \begin{multline*} \left(\mathfrak{D}_{0}(M)\right)_{c} \overset{d}{\longrightarrow} \left(\mathfrak{D}_{1}(M)\right)_{c} \overset{d}{\longrightarrow} \left(\mathfrak{D}_{2}(M)\right)_{c} \overset{d}{\longrightarrow} \ldots \\ \ldots \overset{d}{\longrightarrow} \left(\mathfrak{D}_{p}(M)\right)_{c} \overset{d}{\longrightarrow} \left(\mathfrak{D}_{p+1}(M)\right)_{c} \overset{d}{\longrightarrow} \ldots \overset{d}{\longrightarrow} \left(\mathfrak{D}_{n}(M)\right)_{c} \overset{d}{\longrightarrow} \{0\} , \end{multline*} d'o\ug \ l'on d\ea duit la \textit{cohomologie de De Rahm \ag \ support compact} $H^{p}_{DR,c}(M)$. \par \subsubsection{ dualit\ea\ de Poincar\ea \ } On suppose $M$ orientable de dimension $n$, \ag \ base d\ea nombrable d'ouverts. Pour $\omega \in \D_{p}(M) , \; \pi \in \left(\D_{n-p}(M)\right)_{c}$, soit $$\langle \omega , \pi\rangle = \int_{M} \omega \wedge \pi.$$ $\langle \; , \; \rangle$ est une forme $\Rmath$-bilin\ea aire $ \D_{p}(M)\times \left(\D_{n-p}(M)\right)_{c} \longrightarrow \Rmath$. \par Pour $\alpha \in \D_{p-1}(M) , \; \beta \in \left(\D_{n-p}(M)\right)_{c}$, on a $d\alpha \wedge \beta + (- 1)^{p-1} \alpha \wedge d\beta = d(\alpha \wedge \beta)$ et comme $\int_{M} d(\alpha \wedge \beta) = 0$, il vient $\beta \in Z_{DR,c}^{n-p}(M) \Longrightarrow \langle d\alpha , \beta\rangle = 0$ donc $B^{p}_{DR}(M) \subset \left(Z^{n-p}_{DR,c}(M)\right)^{\perp}$. \par De m\^{e}me, pour $\alpha \in \D_{p}(M) , \; \beta \in \left(\D_{n-p-1}(M)\right)_{c}$, on a $d\alpha \wedge \beta + (- 1)^{p} \alpha \wedge d\beta = d(\alpha \wedge \beta)$ et comme $\int_{M} d(\alpha \wedge \beta) = 0$, il vient $\alpha \in Z_{DR}^{p}(M) \Longrightarrow \langle \alpha , d\beta\rangle = 0$ donc $B^{n-p}_{DR,c}(M) \subset \left(Z^{p}_{DR}(M)\right)^{\perp}$. \par Ainsi $\langle \; , \; \rangle $ passe aux quotients et d\ea finit une forme bilin\ea aire $H^{p}_{DR}(M) \times H^{n-p}_{DR,c}(M) \longrightarrow \Rmath$ par la formule $$\langle [\omega] ,[\pi] \rangle = \langle \omega , \pi\rangle \quad\forall \omega \in Z_{DR}^{p}(M) , \forall \pi \in Z_{DR,c}^{n-p}(M).$$ D'o\ug \ une application $\Theta : H^{p}_{DR}(M) \longrightarrow \left( H^{n-p}_{DR,c}(M) \right)^{*}.$ \begin{theorem} L'application $\Theta$ est un isomorphisme. \end{theorem} \subsection{application au cas $M$ compact} \subsubsection{} \begin{theorem} Soit $M$ une vari\ea t\ea\ compacte. Alors $\dim H^{p}_{DR}(M) < + \infty \; \forall p.$ \end{theorem} \par D\ea monstration.\par Si $M$ est la r\ea union de deux ouverts $U$ et $V$, la suite exacte de Mayer-Vi\ea toris de l'homologie singuli\eg re \ag \ coefficients r\ea els donne par transposition la suite exacte $$\ldots \longrightarrow H^{p-1}_{DR}(U \cap V) \overset{\delta^{p}}{\longrightarrow} H^{p}_{DR}(M) \overset{h^{*,p}}{\longrightarrow} H^{p}_{DR}(U) \oplus H^{p}_{DR}(V) \longrightarrow \ldots $$ donc (isomorphisme de l'image de $h^{*,p}$ avec tout suppl\ea mentaire du noyau) $$H^{p}_{DR}(M) \cong \text{Im }h^{*,p} \oplus \text{Im }\delta^{p}.$$ Si $H^{p-1}_{DR}(U \cap V), H^{p}_{DR}(U)$ et $ H^{p}_{DR}(V)$ sont de dimension finies, il en est de m\^{e}me de $H^{p}_{DR}(M)$.\par Or $M$ peut \^{e}tre recouvert par un nombre fini d'ouverts hom\ea omorphes \ag \ $\Rmath^{n}$ et $H^{p}_{DR}(\Rmath^{n})$ est nul sauf pour $p = 0$ , $H^{0}_{DR}(\Rmath^{n}) = \Rmath$. Le th\ea or\eg me s'en d\ea duit par une r\ea currence simple sur le nombre d'ouverts du recouvrement de $M$. \subsubsection{} Supposons $M$ compacte, \ag \ base d\ea nombrable d'ouverts. \par La dualit\ea \ de Poincar\ea \ donne un isomorphisme $$H^{p}_{DR}(M) \cong \left( H^{n-p}_{DR,c}(M) \right)^{*} = \left( H^{n-p}_{DR}(M) \right)^{*}$$ donc $$b_{p}(M) = b_{n-p}(M).$$ En particulier si $n = \text{dim }M$ est \textit{impair}, la caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea \ de $M$ est nulle: $\chi(M) = 0.$ %%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cohomologie de De Rham invariante \ag \ gauche d'un groupe de Lie} \subsection{cohomologie invariante \ag \ gauche} Soit $G$ un groupe de Lie et $\g$ son alg\eg bre de Lie. Pour $p \geqslant 0$, la diff\ea rentielle ext\ea rieure $ d : \mathfrak{D}_{p}(G) \longrightarrow \mathfrak{D}_{p+1}(M) $ envoie $ \mathfrak{D}_{p}^{L}(G) $ dans $\mathfrak{D}_{p+1}^{L}(G) $ puisque $d\tilde{\omega} = \widetilde{d\omega} \; \forall \omega \in \bigwedge^{p}\g^{*} $. Soit $Z^{p}_{L}(G) = Z^{p}_{DR}(G) \cap \D_{p}^{L}$ , $B^{p}_{L}(G) = d\left(\D_{p-1}^{L}(G)\right)$, $B^{0}_{L}(G) = \{0\}$. L'espace vectoriel quotient $$H^{p}_{L}(G) = Z^{p}_{L}(G) \left/ B^{p}_{L}(G)\right. $$ est le \textit{$p$-i\eg me groupe de cohomologie de De Rham invariante \ag \ gauche de G}. \par L'application $\omega \longmapsto \tilde{\omega}$ induit un isomorphisme $$H^{p}_{\Rmath}(\g) \longrightarrow H^{p}_{L}(G).$$ %%%%% \subsection{application canonique de $H^{p}_{L}(G)$ dans $H^{p}_{DR}(G)$} On appelle \textit{application canonique de $H^{p}_{L}(G)$ dans $H^{p}_{DR}(G)$} l'application qui associe \ag \ la classe de $\tilde{\omega}$ modulo $B^{p}_{L}(G)$ ($\omega \in Z^{p}_{\Rmath}(\g)$) la classe de $\tilde{\omega}$ modulo $B^{p}(G)$.\par En g\ea n\ea ral, cette application n'est \textit{ni injective, ni surjective}. %%%%%%%%%%% \subsection{Exemple de $SL(2,\Rmath)$} \subsubsection{} Soit $G = SL(2,\Rmath)$ le groupe des matrices $2 \times 2$ \ag \ coefficients r\ea els, de d\ea terminant $1$: $$G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \; ; a,b,c,d \in \Rmath, \; ad-bc = 1 \right\}.$$ En tant que vari\ea t\ea \ diff\ea rentiable, $G$ est diff\ea omorphe \ag \ $\left(\Rmath\left/{2 \pi \Zmath}\right.\right) \times \Rmath \times \Rmath$. En effet, tout $g \in G$ peut s'\ea crire sous la forme $$g = \begin{pmatrix} \text{cos }\theta & - \text{sin }\theta \\ \text{sin }\theta & \text{cos }\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{t} & 0\\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & s\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ avec $\theta \in \Rmath$ unique modulo $2 \pi$ et $t,s \in \Rmath$ uniques. C'est la \textit{d\ea composition d'Iwasawa}. En particulier, $G$ est connexe , mais non simplement connexe. \par L'alg\eg bre de Lie $\g$ de $G$ est l'alg\eg bre de lie $s\ell(2,\Rmath)$ des matrices $2 \times 2$ \ag \ coefficients r\ea els, de trace nulle: $$\g = \left\{ A \in M_{2}(\Rmath) \; , e^{tA} \in G \; \forall t \in \Rmath \right\} = s\ell(2,\Rmath)$$ et $[A,B] = AB - BA \quad \forall A, B \in \g .$ \par Les trois matrices $$H = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & - 1 \end{pmatrix} \; , \; X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \; , \; Y = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ forment une base de $\g$ avec les relations de commutation $$ [H, X] = 2X , \; [H, Y] = - 2Y , \; [X, Y] = H .$$ %%%%%%%% \subsubsection{calcul de l'homologie de $G$} Pour calculer l'homologie de $G$, on utilise la suite de Mayer-Vi\ea toris. En effet, $G = U \cup V$ avec $$U = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d = \frac{1 + bc}{a} \end{pmatrix} \; ; a,b,c \in \Rmath, \; a\neq 0 \right\}$$ $$V = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ c = \frac{ad - 1}{b} & d \end{pmatrix} \; ; a,b,d \in \Rmath, \; b \neq 0 \right\}.$$ $U$ est hom\ea omorphe au sous-ensemble $\left\{\left( \begin{smallmatrix} x \\ y\\ z \end{smallmatrix}\right) \in \Rmath^{3}, \; x\neq 0\right\}$ de $\Rmath^{3}$ par l'application $\phi : \begin{pmatrix} a & b\\ c & d = \frac{1 + bc}{a} \end{pmatrix} \longmapsto \left(\begin{smallmatrix} a \\ b\\ c \end{smallmatrix}\right)$, et $V$ est hom\ea omorphe \ag \ $\left\{ \left(\begin{smallmatrix} x \\ y\\ z \end{smallmatrix}\right) \in \Rmath^{3}, \; y\neq 0\right\}$ par l'application $\psi: \begin{pmatrix} a & b\\ c = \frac{ad - 1}{b} & d \end{pmatrix} \longmapsto \left(\begin{smallmatrix} a \\ b\\ d \end{smallmatrix}\right)$. \par La restriction de $\phi$ \ag \ $U \cap V$ est un hom\ea omorphisme de $U \cap V$ sur $$\left\{ \left(\begin{smallmatrix} x \\ y\\ z \end{smallmatrix}\right) \in \Rmath^{3}, \; x\neq 0 , \; y\neq 0 \right\}$$ En particulier, $U \cap V$ a $4$ composantes connexes, et $U$ et $V$ en ont chacun $2$. Consid\ea rons les \ea l\ea ments suivants de $G$: $$g_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; g_{2} = \begin{pmatrix} - 1 & 1\\ 0 & - 1 \end{pmatrix},\; g_{3} = \begin{pmatrix} - 1 & - 1\\ 0 & - 1 \end{pmatrix},\; g_{4} = \begin{pmatrix} 1 & - 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Ce sont $4$ repr\ea sentants des $4$ composantes connexes distinctes de $U \cap V$. Donc $H_{0}(U \cap V)$ a pour base $\left( [g_{1}]_{U \cap V}, [g_{2}]_{U \cap V}, [g_{3}]_{U \cap V}, [g_{4}]_{U \cap V}\right).$ %\par $g_{1}, g_{2}$ ne sont pas dans la m\^{e}me composante de $U$ mais sont dans la m\^{e}me composante de $V$ et de m\^{e}me pour $g_{3}, g_{4}$. %\par $g_{1}, g_{4}$ ne sont pas dans la m\^{e}me composante de $V$ mais sont dans la m\^{e}me composante de $U$ et de m\^{e}me pour $g_{2}, g_{3}$. %\par Donc $H_{0}(U) \oplus H_{0}(V)$ a pour base $\left( [g_{1}]_{U}, [g_{2}]_{U}, [g_{3}]_{V}, [g_{4}]_{V}\right).$ \par Comme $\text{dim }G = 3$, $H_{p}(G,\Rmath) = H^{p}_{DR}(G) = \{0\} \; \forall p \geqslant 4$. \par La suite de Mayer-Vi\ea toris donne pour $p \geqslant 2$ une suite exacte courte $$ \overbrace{H_{p}(U) \oplus H_{p}(V)}^{= \{0\}} \overset{h_{*,p}}{\longrightarrow} H_{p}(G) \overset{\delta_{p}}{\longrightarrow} H_{p-1}(U \cap V) \overset{g_{*,p-1}}{\longrightarrow} \overbrace{H_{p-1}(U) \oplus H_{p-1}(V)}^{= \{0\}}$$ o\ug \ $\delta_{p}$ est le morphisme de connexion. Donc $$ H_{p}(G) \cong H_{p-1}(U \cap V ) = \{0\} \; \forall p \geqslant 2.$$ Pour $p = 1$ , on a la suite exacte $$ \overbrace{H_{1}(U) \oplus H_{1}(V)}^{= \{0\}} \overset{h_{*,1}}{\longrightarrow} H_{1}(G) \overset{\delta_{1}}{\longrightarrow} H_{0}(U \cap V) \overset{g_{*,0}}{\longrightarrow} H_{0}(U) \oplus H_{0}(V) \overset{h_{*,0}}{\longrightarrow} H_{0}(G).$$ \par Comme $G$ est connexe par arcs, $H_{0}(G) \cong \Rmath.$ \par On a : \begin{multline*} g_{*,0}\left(\sum_{i=1}^{4} u^{i} [g_{i}]_{U \cap V}\right) = \left( \sum_{i=1}^{4} u^{i} [g_{i}]_{U}\quad ,\quad - \sum_{i=1}^{4} u^{i} [g_{i}]_{V} \right) =\\ \left( (u^{1}+u^{4})[g_{1}]_{U} + (u^{2}+u^{3})[g_{2}]_{U}\, , \, (u^{1}+u^{2})[g_{1}]_{V} + (u^{3}+u^{4})[g_{3}]_{V} \right). \end{multline*} Donc $\text{Ker }g_{*,0} = \Rmath \left( \begin{smallmatrix} 1\\-1\\1\\-1\end{smallmatrix}\right).$ \par Comme $\delta_{1}$ est injective ($\text{Ker }\delta_{1} = \{0\}$) et que $\text{Im }\delta_{1} = \text{Ker }g_{*,0}$, on a $H_{1}(G) \cong \Rmath.$ %%%%%%%% \subsubsection{} \par \smallskip On a: \begin{center} \begin{tabular}{| c | c | c | c |} \hline & & & \\ $H^{0}_{DR}(G) \cong \Rmath$ & $H_{DR}^{1}(G) \cong \Rmath$ & $H^{2}_{DR}(G) = \{0\}$ & $H^{3}_{DR}(G) = \{0\}$ \\ & & & \\ \hline & & & \\ $H^{0}_{\Rmath}(\g) \cong \Rmath$ & $H_{\Rmath}^{1}(\g) = \{0\}$ & $H_{\Rmath}^{2}(\g) = \{0\}$ & $H^{3}_{\Rmath}(\g) \cong \Rmath$ \\ & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \qquad Dans le tableau ci-dessus, on a $H_{\Rmath}^{1}(\g) = \{0\}$ parce que $\g = [\g, \g]$; $H_{\Rmath}^{2}(\g) = \{0\}$ est un cas particulier du \textit{lemme de Whitehead}; $H^{3}_{\Rmath}(\g) \cong \Rmath$ car la \textit{forme de Killing} de $\g$, \ag\ savoir la forme bilin\ea aire $(X,Y) \longmapsto \text{Tr}(XY)$ sur $\g \times \g$, donne le $3$-cocycle $\varphi \in \bigwedge^{3} \g^{*}$ : $\varphi(X,Y,Z) = \text{Tr}([XY] Z) \; \forall X,Y,Z \in \g.$ $\varphi$ n'est pas un cobord, donc $H^{3}_{\Rmath}(\g)$ n'est pas r\ea duit \ag \ $\{0\} $ et est alors \ea gal \ag \ $\Rmath$ puisque de dimension au plus $1$. \par L'application canonique $\Phi$ de $H^{p}_{L}(G) \cong H^{p}_{\Rmath}(\g) $ dans $H^{p}_{DR}(G)$ n'est \textit{pas injective pour $p = 3$ et pas surjective pour $p = 1$}. %%%%%%%%%%% \subsection{Autre exemple : $GL^{+}(n,\Rmath)$} \subsubsection{} Soit $G = GL^{+}(n,\Rmath) $ le groupe des matrices $n \times n$, \ag \ coefficients r\ea els, de d\ea terminant $> 0.$ Toute $A \in G$ admet une \textit{d\ea composition polaire} unique $A = V H $ , avec $V \in O(n, \Rmath)$ matrice orthogonale r\ea elle et $H =\sqrt{A^{*}A}$ sym\ea trique d\ea finie positive. En fait, comme $det\; A >0$, on a $V \in SO(n, \Rmath)$.\par Or l'exponentielle est une bijection de l'espace vectoriel $\mathcal{S}$ des matrices sym\ea triques r\ea elles sur le c\^{o}ne convexe $\mathcal{S}^{+}$ des matrices sym\ea triques r\ea elles d\ea finies positives: $$ exp : \mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{S}^{+}.$$ Donc on a $A = V e^{h}$ pour un $h \in \mathcal{S}$, d'o\ug \ une bijection $$ G \longrightarrow SO(n, \Rmath) \times \mathcal{S}$$ d\ea finie par $A = V e^{h} \longmapsto (V,h).$ Cette bijection est un $C^{\infty}$-diff\ea omorphisme. Cela implique que $ K = SO(n, \Rmath)$ est un \textit{d\ea formation-r\ea tract de $G$}: si $i$ est l'injection de $K$ dans $G$ et $r$ l'application de $G$ dans $K$ d\ea finie par $r(A) = V$ pour $A = V e^{h}$, on a $r \circ i = Id_{K}$ et $i \circ r \sim Id_{G}$. (l'application $F : (t,A) \mapsto F(t,A) = V e^{th}$ est une homotopie de $i \circ r$ sur $Id_{G}$, puisque $F(0,A) = V = r(A)$ et $ F(1,A) = V e^{h} = A \quad \forall A \in G$, donc $F(0, \; \cdot \;) = i \circ r$ et $F(1, \; \cdot \;) = Id_{G}.$) \subsubsection{} Comme $K$ est un d\ea formation-r\ea tract de $G$, on a pour tout $p$: $$H^{p}_{DR}(G) \cong H^{p}_{DR}(K).$$ En particulier, comme $\text{dim }G = n^{2} > \text{dim }K$, $$H^{n^{2}}_{DR}(G) \cong H^{n^{2}}_{DR}(K) = \{0\}.$$ Mais l'alg\eg bre de Lie de $G$ est l'alg\eg bre de Lie $\g = g\ell(n, \Rmath)$ de matrices $n \times n $ \ag \ coefficients r\ea els munie du crochet habituel, et l'on a: $$H^{n^{2}}_{\Rmath}(\g) \cong \Rmath.$$ L'application canonique $\Phi$ de $H^{n^{2}}_{L}(G) \cong H^{n^{2}}_{\Rmath}(\g) $ dans $H^{n^{2}}_{DR}(G)$ n'est \textit{pas injective}. \subsubsection{} Une situation analogue se produit pour tout groupe de Lie \textit{non compact} $G$ car il existe un sous-groupe compact qui est un d\ea formation-r\ea tract de $G$. %%%%% \subsection{} La question se pose donc de fa\c{c}on naturelle: \par Question: \textit{Pour quels groupes de Lie l'application canonique de $H^{p}_{L}(G)$ dans $H^{p}_{DR}(G)$ est-elle bijective pour tout $p$ , i.e. $H^{p}_{\Rmath}(\g) \cong H^{p}_{DR}(G) \quad \forall p$ ? } \par R\ea ponse: \textit{Pour les groupes de Lie compacts connexes} \subsection{} La cohomologie de De Rham n'est pas bien adapt\ea e aux groupes non-compacts, puisqu'on a vu qu'elle se ram\eg ne au cas compact. La bonne notion est la cohomologie de l'alg\eg bre de Lie $\g$ de $G$. \section{ Cohomologie de De Rham bi-invariante d'un groupe de Lie} Une autre notion qu'on peut introduire est la cohomologie de De Rham bi-invariante. \subsection{formes bi-invariantes} Une forme diff\ea rentielle $\omega$ sur $G$ est dite \textit{bi-invariante} si elle est invariante \ag \ gauche et \ag \ droite: $(L_{a})^{*}(\omega) = \omega, (R_{a})^{*}(\omega) = \omega \quad \forall a \in G$. \subsection{$G$-modules et $\g$-modules} $G$ \ea tant un groupe de Lie, on appelle $G$-module un espace vectoriel $E$ muni d'une action continue de $G$, i.e. une application continue $(x,v) \mapsto x \cdot v$ de $G \times E$ dans $E$ telle que $x \cdot (y \cdot v) = (x \cdot y) \cdot v \quad \forall x,y \in G, \quad \forall v \in E $ et $e \cdot v = v \; \forall v \in E$ ($e$ \ea l\ea ment neutre de $G$). Si $\g$ est une alg\eg bre de Lie, on appelle $\g$-module un espace vectoriel $E$ muni d'une action de $\g$ , i.e. une application $(X,v) \mapsto X \cdot v$ de $\g \times E$ dans $E$ telle que $[X,Y] \cdot v = X \cdot (Y \cdot v) - Y \cdot (X \cdot v) \quad \forall X,Y \in \g, \quad \forall v \in E.$ %%%% \subsection{exemple: action adjointe d'un groupe de Lie} L'alg\eg bre de Lie $\g$ d'un groupe de Lie $G$ est un $G$-module pour l'action adjointe de $G$ d\ea finie par: $$x \cdot X = Ad_{G}(x)(X) = \left(\text{Int}(x)\right)_{*_{e}}(X) \quad \forall x \in G, \quad \forall X \in \g$$ o\ug\ Int($x$) est l'automorphisme int\ea rieur d\ea fini par $x$:\quad $$\text{Int}(x)(y) = xyx^{-1} \quad \forall y \in G.$$ On a donc par d\ea finition $$x\left( \e X\right) x^{-1} = \e \left(Ad_{G}(x)(X)\right) = \e \left(x\cdot X\right) \quad \forall X \in \g \; , \forall x \in G.$$ \par Le dual $\g^{*}$ de $\g$ est un $G$-module pour l'action \textit{contragr\ea diente} de l'action adjointe, appel\ea e action \textit{coadjointe} de $G$, d\ea finie par: $$\langle Y \; , \; x \cdot \omega \rangle = \langle x^{-1} \cdot Y \; , \; \omega \rangle \quad \forall x \in G, \quad \forall \omega \in \g^{*} \quad \forall Y \in \g.$$ De m\^{e}me, $\bigwedge^{p} \g^{*}$ est un $G$-module pour l'action coadjointe: \begin{multline*} (x \cdot \omega) (X_{1}, \ldots , X_{p}) = \omega (x^{-1} \cdot X_{1}, \ldots , x^{-1} \cdot X_{p}) \\ \forall x \in G, \quad \forall \omega \in \bigwedge^{p} \g^{*} \quad \forall X_{1},\ldots, X_{p} \in \g. \end{multline*} \subsection{exemple: action adjointe d'une alg\eg bre de Lie} Si $\g$ est une alg\eg bre de Lie, elle est elle-m\^{e}me un $\g$-module pour l'\textit{action adjointe} d\ea finie par $$X \cdot Y = ad(X)(Y) = [X,Y] \quad \forall X,Y \in \g.$$ De m\^{e}me, $\bigwedge^{p} \g^{*}$ est un $\g$-module pour l'action coadjointe d\ea finie par : \begin{multline*} (X \cdot \omega) (X_{1}, \ldots , X_{p}) = - \sum_{i=1}^{p} \omega (X_{1}, \ldots ,[X,X_{i}], \ldots , X_{p}) \\ \forall \omega \in \bigwedge^{p} \g^{*} \quad \forall X, X_{1}, \ldots, X_{p} \in \g. \end{multline*} \subsection{lien entre action adjointe de $G$ et action adjointe de $\g$} Soit $G$ un groupe de Lie et $\g$ son alg\eg bre de Lie. Pour $X,Y \in \g$, l'application $t \mapsto \left( \e tX \right) \cdot Y$ de $\Rmath$ dans l'espace vectoriel $\g$ est d\ea rivable et sa d\ea riv\ea e en $0$ est $[X,Y].$ \par Il en r\ea sulte que l'application $t \mapsto \left( \e tX \right) \cdot \omega$ de $\Rmath$ dans $\bigwedge^{p} \g^{*}$ est d\ea rivable et sa d\ea riv\ea e en $0$ est: $$\left[ \frac{d}{dt} \left(\e tX\right) \cdot \omega \right]_{t=0} = X \cdot \omega .$$ En effet: \begin{multline*} \left[ \frac{d}{dt} \left(\e tX\right) \cdot \omega \right]_{t=0} (X_{1}, \ldots , X_{p}) = \left[ \frac{d}{dt} \left(\left(\e tX\right) \cdot \omega \right) (X_{1}, \ldots , X_{p}) \right]_{t=0} \\ = \left[ \frac{d}{dt} \omega ( \left(\e -tX\right) \cdot X_{1}, \ldots , \left(\e -tX\right) \cdot X_{p}) \right]_{t=0} \\ = - \sum_{i=1}^{p} \omega (X_{1}, \ldots ,[X,X_{i}], \ldots , X_{p}) = \left( X \cdot \omega \right) (X_{1}, \ldots , X_{p}). \end{multline*} \par Ainsi l'action coadjointe de $\g$ est la d\ea riv\ea e de l'action coadjointe de $G.$ \subsection{complexe des formes bi-invariantes} \subsubsection{} \begin{theorem} Une forme bi-invariante est ferm\ea e, i.e. de diff\ea rentielle nulle. Plus pr\ea cis\ea ment, pour toute $\omega \in \bigwedge^{p} \g^{*}$, si la forme $\tilde{\omega}$ est invariante \ag \ droite on a $d\tilde{\omega} = 0$, i.e. $\tilde{\omega} \in Z_{DR}^{p}(G).$ De plus, si $G$ est connexe, on a en notant $\left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{G} =\{\omega \in \bigwedge^{p} \g^{*} \; ; \; a\cdot \omega = \omega \quad \forall a \in G \}$ et $\left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g} = \{\omega \in \bigwedge^{p} \g^{*} \; ; \ X \cdot \omega = 0 \quad \forall X \in \g \}:$ $$ \tilde{\omega} \text{ invariante \ag \ droite } \Longleftrightarrow \omega \in \left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{G} = \left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g}.$$ Enfin, $$\left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g} \subset Z_{\Rmath}^{p}(\g).$$ \end{theorem} \par D\ea monstration.\par On a \begin{multline*} \tilde{\omega} \text{ invariante \ag \ droite } \Longleftrightarrow \tilde{\omega} = (R_{a})^{*}(\tilde{\omega}) \quad \forall a \in G\\ \Longleftrightarrow \omega = \tilde{\omega}_{e} = (R_{a})^{*}_{e}(\tilde{\omega}_{a}) = (R_{a})^{*}_{e}\left( (L_{a^{-1}})^{*}_{a}( \tilde{\omega}_{e}) \right)= \left((R_{a})^{*}_{e}\circ (L_{a^{-1}})^{*}_{a}\right)( \tilde{\omega}_{e}) = \\ \sideset{^t}{} {\left( (L_{a^{-1}})_{*_{a}} \circ (R_{a})_{*_{e}} \right)} ( \tilde{\omega}_{e}) = \left(\text{Int}(a^{-1})\right)^{*}_{e}(\omega) = a \cdot \omega \quad \forall a \in G\\ \Longleftrightarrow \omega \in \left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{G} \end{multline*} Par diff\ea rentiation, on a d'autre part: $\left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{G} \subset \left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g}$ et l'\ea galit\ea \ r\ea sulte de la connexit\ea\ de $G.$ D'autre part, $\left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g} \subset Z_{\Rmath}^{p}(\g)$ r\ea sulte de la formule $$2d\omega (X_{1}, \ldots ,X_{p+1}) = - \sum_{i=1}^{p+1} (-1)^{i} \; \left( X_{i} \cdot \omega \right) \left(X_{1},\ldots,\widehat{X_{i}},\ldots,X_{p+1}\right)$$ pour $\omega \in \bigwedge^{p} \g^{*},\quad X_{1}, \ldots , X_{p+1} \in \g$. \smallskip \par \subsubsection{} On a donc un complexe des formes diff\ea rentielles bi-invariantes, avec une diff\ea rentielle nulle: $d = 0$: \begin{multline*} \mathfrak{D}_{0}^{\text{bi-inv}}(G) \overset{d = 0}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{1}^{\text{bi-inv}}(G) \overset{d = 0}{\longrightarrow} \ldots \overset{d = 0}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{p}^{\text{bi-inv}}(G) \overset{d = 0}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{p+1}^{\text{bi-inv}}(G) \overset{d = 0}{\longrightarrow} \ldots \\ \ldots \overset{d = 0}{\longrightarrow} \mathfrak{D}_{n}^{\text{bi-inv}}(G) \overset{d = 0}{\longrightarrow} \{0\} \qquad (n = \text{dim }G) \end{multline*} avec pour tout $p$, $$ \mathfrak{D}_{p}^{\text{bi-inv}}(G) \cong \left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{G}.$$ Comme la diff\ea rentielle est nulle, ce complexe est sa propre cohomologie. On l'appelle \textit{cohomologie bi-invariante} de $G$. \subsection{comparaison entre cohomologie bi-invariante et cohomologie de l'alg\eg bre de Lie} Si $G$ est un groupe de Lie connexe, on a le diagramme commutatif suivant d'applications canoniques. \begin{equation*} \begin{CD} \mathfrak{D}_{p}^{\text{bi-inv}}(G) @))) H_{L}^{p}(G) @))) H_{DR}^{p}(G) \\ @VV \cong V @V\cong VV \\ \left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g} @))) H_{\Rmath}^{p}(\g) \end{CD} \end{equation*} Si $G$ est compact toutes les applications de ce diagramme sont des isomorphismes. Cependant, les applications canoniques $\mathfrak{D}_{p}^{\text{bi-inv}}(G) \longrightarrow H_{L}^{p}(G)$ et $\left( \bigwedge^{p} \g^{*} \right)^{\g} \longrightarrow H_{\Rmath}^{p}(\g)$ sont encore des isomorphismes dans un cas plus g\ea n\ea ral que le cas compact, \ag \ savoir le cas \textit{r\ea ductif}: c'est le cas o\ug \ l'alg\eg bre de Lie $\g$ de $G$ est \textit{r\ea ductive}, ce qui signifie par d\ea finition que l'action adjointe de $\g$ est semi-simple, i.e. diagonalisable sur $\Cmath.$ Comme exemple de groupe r\ea ductif, citons $GL(n,\Rmath).$ \section{Exemples de polyn\^{o}mes de Poincar\ea \ d'alg\eg bres de Lie} Le polyn\^{o}me de Poincar\ea \ d'une alg\eg bre de Lie $\g$ de dimension $n$ est d\ea fini par $P_{\g}(t) = \sum_{p=0}^{n} \text{dim } H_{\Rmath}^{p}(\g) \; t^p \in \Zmath[t].$ \subsection{$\g = gl(n,\Rmath)$} $$P_{gl(n,\Rmath)}(t) = \prod_{p=1}^{n} \left( 1 + t^{2p-1} \right).$$ \subsection{$\g = sl(n,\Rmath)$} $$P_{sl(n,\Rmath)}(t) = \prod_{p=2}^{n} \left( 1 + t^{2p-1} \right).$$ \subsection{cas d'un groupe connexe compact} Si $G$ est compact connexe d'alg\eg bre de Lie $\g$, $$P_{G}(t) = P_{\g}(t) = ( 1 + t^{2m_{1}+1}) \ldots ( 1 + t^{2m_{\ell}+1}). $$ avec $m_1 , \ldots m_{\ell} \in \Nmath.$ En particulier, $P_{G}(-1) = 0$, i.e. la caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea \ $\chi (G)$ d'un groupe de Lie compact connexe est \textit{nulle}.\par Cela montre que la sph\eg re $\Smath^{n}$ ne peut pas \^{e}tre munie d'une structure de groupe de Lie si $n$ est pair puisque dans ce cas la caract\ea ristique d'Euler-Poincar\ea \ vaut $2$. %%%%%%%%%%%% \section{cohomologie des alg\eg bres de Lie nilpotentes} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{D\ea finitions et notations} La cohomologie \ea tant invariante par extension du corps de base, on se place dans toute la suite sur le corps $\Cmath$. \subsubsection{rang et poids pour une alg\eg bre de Lie nilpotente} Soit $\g$ une alg\eg bre de Lie. La \textit{s\ea rie centrale descendante} $\mathcal{C}^{p}\g$ de $\g$ est d\ea finie par r\ea currence par $\mathcal{C}^{1}\g = \g, \mathcal{C}^{2}\g = [\g, \g], \ldots, \mathcal{C}^{p+1}\g = [\g,\mathcal{C}^{p}\g] , \ldots $. o\ug \ $[\g,\mathcal{C}^{p}\g]$ est le sous-espace vectoriel engendr\ea \ par $ \{ [X,Y] \, ; \, X \in \g, Y \in \mathcal{C}^{p}\g \} .$ \par $\g$ est dite \textit{nilpotente} s'il existe $p \geqslant 1$ tel que $\mathcal{C}^{p}\g = \{ 0\}.$ \par Une \textit{d\ea rivation de l'alg\eg bre de Lie} $\g$ est un endomorphisme $\delta$ de $\g$ tel que $\delta ([X,Y]) = [\delta (X), Y ] + [X,\delta (Y)] \; \forall X,Y \in \g$. L'ensemble des d\ea rivations de $\g$ forme une sous-alg\eg bre de Lie Der($\g$) de l'alg\eg bre de Lie des endomorphismes de $\g$ munie du crochet habituel $[A,B] = A \circ B - B \circ A.$ \par On appelle \textit{tore} d'une alg\eg bre de Lie $\g$ de dimension finie une sous-alg\eg bre de Lie commutative de Der($\g$) form\ea e de d\ea rivations diagonalisables. Si $T$ est un tore de $\g$, les \ea l\ea ments de $T$ sont \textit{simultan\ea ment diagonalisables} donc il existe une base $(x_1,..., x_{n})$ de $\g$ form\ea e de vecteurs propres pour $T$, i.e. $t(x_i)=\alpha_i(t) x_i \; \forall t \in T$ o\ug \ $\alpha_i$ appartient au dual $T^{*}$ de $T$. Les $\alpha_i$ sont les \textit{poids de $\g$ par rapport \ag \ $T$}. \par Tous les tores \textit{maximaux} de $\g$ ont la m\^{e}me dimension, appel\ea e \textit{rang (torique)} de $\g$. %%%%%%ù%%%%% \subsubsection{cohomologie triviale et adjointe} \par Soit $E$ un $\g $-module et $C^{p}({\g},E) = ({\bigwedge}^{p} {{\g}}^{*}) \otimes_{\Cmath} \, E $ l'espace vectoriel des $p$-cochaines \ag \ valeurs dans $E$ ($p \geqslant 0$), i.e. l'espace vectoriel des applications $p$-lin\ea aires altern\ea es $f : \underbrace{\g \times \ldots \times \g}_{p \text{ fois}} \longrightarrow E$. L'op\ea rateur cobord $ d : C^{p-1}({\g},E) \longrightarrow C^{p}({\g},E) \ (p \geqslant 1) $ est d\ea fini par \begin{eqnarray*} df(X_{1},...,X_{p})&=& \sum_{i=1}^{p} (-1)^{i-1} X_{i}\cdot f(X_{1},...,\widehat{ X_{i}} ,...,X_{p}) \\ & & +\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant p } (-1)^{i+j} f([ X_{i},X_{j} ] ,..., \widehat{ X_{i}} ,..., \widehat{ X_{j}} , ...,X_{p}) \end{eqnarray*} pour tous $X_1,..,X_p \in {\g}$, et on introduit: \begin{eqnarray*} Z_{E}^{p}(\g) & = & \{f \in C^{p}({\g},E);\ df=0 \} \\ B_{E}^{p}(\g)& = & d(C^{p-1}({\g} ,E)) \\ H_{E}^{p}(\g) & = &Z_{E}^{p}(\g)\left/ B_{E}^{p}(\g)\right. \end{eqnarray*} \par Si $E = \Cmath$, $\g$-module trivial avec l'action nulle, on retrouve la cohomologie $H^{p}_{\Cmath}(\g)$ d\ea finie comme dans le cas de $\Rmath.$ On l'appelle la \textit{cohomologie triviale de $\g$}.\par Si $E={\g}$ avec l'action adjointe de $\g$, on obtient la \textit{cohomologie adjointe de $\g$}. \par $H^{0}_{\g}(\g) = Z^{0}_{\g}(\g) $ est le centre $\{X \in \g \; ; \; [X,Y] = 0 \; \forall Y \in \g\}$ de $\g$; $Z^{1}_{\g}(\g) $= Der $\g$; $H^{1}_{\g}(\g) $= Der ${\g} \left/ \text{ad }{\g}\right.$ , o\ug \ ad $\g$ = \{ad $X$ \, ; $X \in \g$\}. \par \subsubsection{action du tore maximal sur la cohomologie triviale} Soit $T$ un tore maximal de $\g$. %et $E$ un $\g$-module. %$C^{p}(\g , E)$ %est un $T$-module pour l'action %$(t,f) \mapsto t \cdot f$ avec %\begin{multline*} %\left( t \cdot f \right) %\left( X_{1}, \ldots , X_{p}\right) = %t \cdot \left( f %\left( X_{1}, \ldots , X_{p}\right) \right) \\ %- \sum_{i=1}^{p} f %\left( X_{1}, \ldots , t(X_{i}), \ldots , X_{p}\right). %\end{multline*} %pour $t\in T, f \in C^{p}(\g , E), X_{1},\ldots , X_{p} \in \g.$ %Cette action commute avec l'op\ea rateur cobord $d$, donc d\ea finit une structure de %$T$-module sur %$H^{p}_{E}(\g)$. %Dans le cas de la cohomologie triviale , cela s'\ea crit: $C^{p}(\g , \Cmath) = \bigwedge^{p} \g^{*}$ est un $T$-module pour l'action $(t,\omega) \mapsto t \cdot \omega$ avec $$\left(t \cdot \omega \right) \left(X_{1}, \ldots , X_{p}\right) = - \sum_{i=1}^{p} \omega \left(X_{1}, \ldots , t(X_{i}), \ldots , X_{p}\right)$$ pour $t\in T, \omega \in C^{p}(\g , \Cmath), X_{1},\ldots , X_{p} \in \g.$ Cette action commute avec l'op\ea rateur cobord $d$ et d\ea finit une structure de $T$-module sur $H^{p}_{\Cmath}(\g)$. \subsubsection{poids sur la cohomologie} Soit $\{x_1,...x_{n}\}$ une base de $\g$ form\ea e de vecteurs propres pour $T$: $t(x_i)=\alpha_i(t) x_i \; \forall t \in T$ o\ug \ les $\alpha_i$ sont les poids de $\g$ par rapport \ag \ $T$. Soit $(\omega^{i})_{1 \leqslant i \leqslant n}$ la base de $\g^{*}$ duale de la base $(x_{i})_{1 \leqslant i \leqslant n}$. Il est imm\ea diat que $t(\omega^i) = - \alpha_i(t) \omega^i \; \forall t \in T$, i.e. $\omega^{i}$ est un vecteur propre pour $T$, de poids $- \alpha_{i}.$ \par De m\^{e}me, $\omega^{i_{1},...,i_{p}} = \omega^{i_{1}} \wedge ... \wedge \omega^{i_{p}} \in C^{p}({\g},\Cmath)$ est un vecteur propre de poids $- \alpha_{i_1} - \ldots - \alpha_{i_p}$ ($1 \leqslant i_{1} < \ldots < i_{p} \leqslant n$). Il en est de m\^{e}me de la classe de cohomologie $[\omega^{i_{1},...,i_{p}}]\in H^{p}_{\Cmath}(\g).$ \subsection{cocycles harmoniques} Pour tout sous-ensemble $H$ de cardinal $p$ de $\{1,...,n\}$ $$H=\{i_1,...,i_p\} ,\ \ 1 \leqslant i_1 < ...< i_p \leqslant n $$ notons $$\omega^{H} =\omega^{i_1,...,i_p}.$$ Soit alors $(.|.)$ le produit scalaire hermitien d\ea fini sur $C^{p}(\g,\Cmath)$ by $$(\omega^{H}|\omega^{K})= \delta_{H,K} \; \text{(symbole de Kronecker)},$$ et $d^{*}$ l'adjoint de $d$ pour ce produit scalaire. Un cocycle $\omega \in Z^{p}_{\Cmath}$ est dit \textit{harmonique} si $d\omega=d^{*}\omega=0$. \subsubsection{} \begin{lemme}[\cite{Kostant}] Soient $d,\delta$ des endomorphismes de l'espace vectoriel de dimension finie $E$ tels que $d^2=\delta^2=0$ et soit $\Delta= d\delta+\delta d$. Si $d$ et $\delta$ sont disjoints (i.e. $\forall x \in E \ d\delta x=0 \Rightarrow \delta x = 0$ et $ \delta d x=0 \Rightarrow d x = 0 $) alors \begin{eqnarray*} \Ker\ \Delta & = & \Ker \ d \cap \Ker \ \delta \\ E & = & \image \ d \oplus \image \ \delta \oplus \Ker \ \Delta \\ \Ker \ d / \image \ d & \cong & \Ker \ \Delta \end{eqnarray*} \end{lemme} \smallskip \par D\ea monstration.\par Pour $x \in \Ker \ \Delta$, $d \delta x =- \delta d x$. Si $y=d \delta x$, alors $\delta y = \delta d \delta x =0$ implique $d \delta x =0$ i.e. $y=0$, et donc $\delta x =0$ d'o\ug \ $\delta d x =0$ et $d x =0$ . Ainsi $\Ker \ \Delta \subset \Ker \ d \cap \Ker \ \delta$ , et l'\ea galit\ea \ en r\ea sulte. Maintenant $\image \ d \cap \image \ \delta =\{0\}$ puisque $d x = \delta z $ implique $d \delta z =0$ donc $\delta z = 0.$ De m\^{e}me, $(\image \ d \oplus \image \ \delta) \cap \Ker \ \Delta =0$, et l'on a donc une somme directe $\image \ d \oplus \image \ \delta \oplus \Ker \ \Delta$. Comme $\image \ \Delta \subset \image \ d \oplus \image \ \delta $ et $\dim \ \image \ \Delta + \dim \ \Ker \ \Delta = \dim \ E$ on a $ \image \ d \oplus \image \ \delta = \ \image \ \Delta $ et $E = \ \image \ \Delta \oplus \Ker \ \Delta $. L'application $x \mapsto [x]$ de $ \Ker \ \Delta$ dans $\Ker \ d / \image \ d$ est injective; montrons qu'elle est surjective. Soit $z \in \Ker \ d.$ Alors $z=\alpha + \beta ,\; \alpha \in \image \ \Delta , \; \beta \in \Ker \ \Delta, \; \alpha = d \delta \gamma + \delta d \gamma , \; \gamma \in E; dz= 0=d \alpha = d \delta d \gamma $ donc $\delta d \gamma =0$ et $\alpha \in \image\ d$ i.e. $[z]=[\beta]$. \hfill $\Box$ \subsubsection{} Comme $d$ et $d^{*}$ sont disjoints, on applique le lemme avec $\bigoplus_{p=0}^{n} C^p(\g,\Cmath)$ , $\Ker\ d \left/ \image \ d \right.= \bigoplus_{p=0}^{n} H^p_{\Cmath}$. Le calcul de la cohomologie se r\ea duit donc au calcul des cocycles harmoniques, i.e. au calcul du noyau du laplacien $\Delta$. %%%%%%%% \subsection{L'Hypoth\eg se de Riemann pour la cohomologie triviale} \subsubsection{} On dit qu'une alg\eg bre nilpotente $\g$ avec un tore maximal $T$ v\ea rifie l'Hypoth\eg se de Riemann (not\ea e HR) si $ H^i_{\Cmath}(\g) $ et $ H^j_{\Cmath}(\g) $ \textit{n'ont aucun poids commun pour $i \neq j$}($1 \leqslant i,j \leqslant n = dim \g$.) \subsubsection{exemple: l'alg\eg bre de Heisenberg} Soit $\g = \mathcal{H}_{1}$ l'alg\eg bre de Heisenberg de dimension 3 : c'est l'alg\eg bre de Lie de base $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$, avec la relation de commutation $[x_1, x_2 ] = x_3.$ Le centre de $\g$ est $\Cmath x_{3}$, et l'on a $\mathcal{C}^{2}\g = \Cmath x_{3}$, $\mathcal{C}^{3}\g = \{ 0\}.$\par La matrice d'une d\ea rivation $\delta$ de $\g$ dans la base $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ est $$\delta = \begin{pmatrix} \xi_{1}^{1}& \xi_{2}^{1}& 0\\ \xi_{1}^{2}& \xi_{2}^{2}& 0\\ \xi_{1}^{3}& \xi_{2}^{3}& \xi_{1}^{1} +\xi_{2}^{2} \end{pmatrix}$$ o\ug \ $\xi_{1}^{1}, \xi_{1}^{2}, \xi_{1}^{3},\xi_{2}^{1}, \xi_{2}^{2}, \xi_{2}^{3}$ sont des param\eg tres ind\ea pendants. Si l'on note $\delta_{i}^{j}$ la d\ea rivation obtenue en prenant \begin{displaymath} \xi_{i^{\prime}}^{j^{\prime}} = \begin{cases} 1 & \quad\text{si $i = i^{\prime}$ et $j = j^{\prime}$} \\ 0 & \quad\text{sinon} \end{cases} \end{displaymath} $(\delta_{1}^{1}, \delta_{1}^{2}, \delta_{1}^{3},\delta_{2}^{1},\delta_{2}^{2}, \delta_{2}^{3})$ est une base de Der($\g$). En notant $t_{1} = \delta_{1}^{1}, t_{2} = \delta _{2}^{2}$, $T = \Cmath t_{1} \oplus \Cmath t_{2}$ est un tore maximal de $\g$. La base $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ diagonalise l'action de $T$ et en notant $(\beta_{1},\beta_{2})$ la base de $T^{*}$ duale de $(t_{1},t_{2})$, les poids de $\g$ sont $\alpha_{1} = \beta_{1}, \alpha_{2} = \beta_{2}, \alpha_{3} = \beta_{1} + \beta_{2}.$ \par En n'\ea crivant que les images non nulles, $d$ est d\ea fini par $d\omega^{3} = - \omega^{1,2}.$\par Les dimensions des $Z^{j}_{\Cmath}$ ($0 \leqslant j \leqslant 3$) sont $(1,2,3,1)$; \par Les dimensions des $H^{j}_{\Cmath}$ ($0 \leqslant j \leqslant 3$) sont $(1,2,2,1)$. \par $H_{\Cmath}^{0}(\g) = \Cmath $. Le poids de $1$ par rapport \ag \ $T$ est nul. \par $H_{\Cmath}^{1}(\g) = \Cmath [\omega^{1}] \oplus \Cmath [\omega^{2}]$ et $[\omega^{1}], [\omega^{2}]$ sont de poids respectifs $- \beta_{1}, - \beta_{2}.$ \par $H_{\Cmath}^{2}(\g) = \Cmath [\omega^{1,3}] \oplus \Cmath [\omega^{2,3}]$ et $[\omega^{1,3}], [\omega^{2,3}]$ sont de poids respectifs $- 2 \beta_{1} - \beta_{2}, - \beta_{1} - 2 \beta_{2}.$ \par $H_{\Cmath}^{3}(\g) = \Cmath [\omega^{1,2,3}]$ et $[\omega^{1,2,3}]$ est de poids $- 2 \beta_{1} - 2 \beta_{2}.$ \par On voit que $\g$ v\ea rifie HR. \par Enfin, $d^{*}$ est d\ea fini par $d^{*}\omega^{1,2} = - \omega^{3}.$ $\Delta$ est d\ea fini par $\Delta \omega^{3} = \omega^{3}, \Delta\omega^{1,2} = \omega^{1,2}$. Les cocycles $\omega^{1}, \omega^{2},\omega^{1,3},\omega^{2,3},\omega^{1,2,3}$ sont harmoniques. \subsubsection{} Le nom HR vient du fait que l'on peut d\ea finir une \textit{fonction $\zeta_{\g}$} de la variable complexe $z$, qui est une fonction rationnelle \ag \ cefficients dans l'extension de corps $\Cmath(e^{\alpha_{1}}, \ldots , e^{\alpha_{n}})$, et HR se traduit par le fait que les facteurs de $\zeta_{\g}$ sont premiers entre eux deux \ag \ deux. Pour l'alg\eg bre de Heisenberg, cette fonction est: $$\zeta_{\g}(z) = \frac{ (1 - e^{- \beta_{1}}z)(1 - e^{ - \beta_{2}}z) (1 - e^{- 2 \beta_{1} - 2 \beta_{2}}z) } {(1 - z) (1 - e^{- 2 \beta_{1} - \beta_{2}}z) (1 - e^{- \beta_{1} - 2 \beta_{2}}z) }.$$ \subsubsection{les r\ea sultats connus} En utilisant le syst\eg me de calcul formel \textit{REDUCE} de A.C HEARN, sur l'un des ordinateurs IBM RISC 6000 du CRI (Centre de Ressources Informatiques) de l'Universit\ea \ de Bourgogne, on a a calcul\ea \ dans \cite{Magnin1} les cohomologies triviale et adjointe des alg\eg bres de Lie nilpotentes de dimension $\leqslant 7$. \cite{Magnin1} est un livre \ea lectronique librement accessible et t\ea l\ea chargeable au format \textit{Postscript} compress\ea \ sur \textit{Internet} \ag\ l'URL: \begin{center} \texttt{http://www.u-bourgogne.fr/archives/math/Magnin1.ps.Z} \end{center} Le r\ea sultats sont les suivants: \par Pour les alg\eg bre de dimension $\leqslant 6$, HR est toujours v\ea rifi\ea e. \par Pour les alg\eg bres de dimension $7$, la situation est diff\ea rente d'une part parce qu'il existe des alg\eg bres ayant un \textit{poids nul}, d'autre part du fait de l'existence de \textit{s\ea ries continues} d'alg\eg bres non isomorphes ayant un m\^{e}me syst\eg me de poids. \par De fa\c{c}on pr\ea cise, on a, suivant le rang de l'alg\eg bre, le nombre suivant de syst\eg mes de poids possibles (on se borne au cas des alg\eg bres qui ne sont pas des produits directs). \par \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline rang & nombre de syst\eg mes de poids \cr \hline 0&1 \cr \hline 1&21 + (3 ayant un poids nul) \cr \hline 2&45 \cr \hline 3&24 \cr \hline 4&5 \cr \hline & total: \ 99 \cr \hline \end{tabular} \smallskip \par \end{center} Il est clair que les alg\eg bres ayant un poids nul ne v\ea rifient pas HR. Si l'on \ea carte donc les syst\eg mes ayant un poids nul, on obtient deux types de syst\eg mes de poids: \begin{itemize} \item{Type 1:} Il n'existe qu'une seule alg\eg bre de Lie (les alg\eg bres isomorphes sont identifi\ea es) ayant ce syst\eg me de poids. \item{Type 2:} Il existe une famille continue \ag \ un param\eg tre ${\g}_{\lambda}$ , $\lambda \in \Cmath$ d'alg\eg bres de Lie nilpotentes, avec ${\g}_{\lambda}$ isomorphe \ag \ ${\g}_{\lambda^{\prime}}$ si et seulement si $\lambda^{\prime}$ se d\ea duit de $\lambda$ par un groupe fini de transformations (groupe de sym\ea tries du diagramme de Dynkin), et un nombre fini de \textit{points limites} des ${\g}_{\lambda}$ ayant ce syst\eg me de poids. \end{itemize} \par Toutes les alg\eg bres de Lie correspondant \ag \ un syst\eg me de poids de type 1 v\ea rifient HR.\par Pour un syst\eg me de type 2, la s\ea rie continue v\ea rifie HR, sauf pour un nombre fini de \textit{valeurs singuli\eg res} du param\eg tre pour lesquelles la cohomologie n'est pas la cohomologie g\ea n\ea rique. Les points limites peuvent satisfaire ou non HR. \subsubsection{un probl\eg me ouvert} En dimension plus grandes que $7$, on ne sait encore \ag \ peu pr\eg s rien sur HR. Cela est d\^{u} d'une part au fait que l'on ne dispose pas d'une classification en dimension quelconque des alg\eg bres de Lie nilpotentes ni des syst\eg mes de poids, bien que des classifications partielles aient \ea t\ea \ faites jusqu'en dimension 9, et d'autre part au fait que des s\ea ries continues \ag \ \textit{multiparam\eg tres} , i.e. \ag \ param\eg tre dans $\Cmath^{k}, k \geqslant 2,$ apparaissent.\par Cependant on conna\^{\i}t des cas o\ug \ HR est satisfaite dans des dimensions quelconques, par exemple l'alg\eg bre de Heisenberg $\g = \mathcal{H}_{N}$ de dimension $2 N +1$, ($N \geqslant 1$): c'est l'alg\eg bre de Lie de base $(x_{i})_{1 \leqslant i \leqslant 2N+1}$ , avec les relations de commutation $$[x_{i},x_{N+i}] = x_{2N+1} \; (1 \leqslant i \leqslant N).$$ Un autre exemple o\ug \ HR est satisfaite est l'alg\eg bre \textit{filiforme g\ea n\ea rique} de dimension $n+1$ de base $(x_{i})_{0 \leqslant i \leqslant n}$ avec les relations de commutation $$[x_{0},x_{i}]=x_{i+1} \; \forall i \; 1 \leqslant i < n.$$ \pagebreak %%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thebibliography}{999999} \bibitem[Be-Ga]{BG} BERENSTEIN C.A., GAY R., \textit{" Complex variable "}, Springer , GTM volume 125 , 1991. \bibitem[Bo-Hu]{Bh} BOTT R., HU L.W., \textit{" Differential Forms in Algebraic Topology "}, Springer , GTM volume 82, 1982. \bibitem[Bou]{Bou} BOURBAKI N., \textit{" Groupes et Alg\eg bres de Lie "}, Chap. 1, Hermann, Paris, 1971. \bibitem[Co]{Co} CONWAY J.B., \textit{" Functions of one complex variable "}, Springer , GTM volume 11 (2{\small{de}} \ea dition), 1978. \bibitem[Cro]{Cro} CROMWELL P.R., \textit{" Polyedra "}, Cambridge , 1996. \bibitem[Gr-Hal-Va]{GHV} GREUB N., HALPERIN S., VANSTONE R. \textit{"Connections, Curvature and Cohomology"}, (3 volumes), Academic Press, NY 1972. \bibitem[Ko]{Kostant} KOSTANT B., \textit{"Lie algebra cohomology and the generalized Borel-Weil theorem"}, Ann. 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MAGNIN ****************************************************** | L. MAGNIN | | Directeur IREM de DIJON | | | | Université de Bourgogne | | UFR Sciences et Techniques | | 9, Avenue Alain Savary | | B.P. 47870 | | 21078 DIJON CEDEX, FRANCE. | ****************************************************** | | | TEL: 03 80 39 52 30 | | FAX: 03 80 39 52 39 | | EMAIL: Irem.Dijon@satie.u-bourgogne.fr | | http://www.u-bourgogne.fr/IREM/ | | | ******************************************************