Séminaire "Statistique, Probabilités et Applications"

Resume: "Si on libère une particule dans un liquide incompressible en mouvement la trajectoire de celle-ci dépend d’une superposition de deux phénomènes : la particule est transporté par le liquide et elle subit un mouvement Brownien, dû au bombardement aléatoire par les molécules du médium. On peut d’écrire la trajectoire de cette particule par une équation différentielle stochastique avec une dérive, qui est donné par le champ de vitesses du liquide en mouvement. Les lois de transition de ce processus de Markov satisfont une équation au dérivés partielles du type parabolique. La partie elliptique étant la somme de l’opérateur de Laplace et d’un champ vectoriel à divergence zéro. Sur une variété différentielle compacte ces opérateurs ont un trou spectral ; i.e. : il y a un espace sans valeurs spectrales entre la valeur propre zéro et le reste du spectre. Ceci se traduit par le fait que les semi-groupes générés par ces opérateurs convergent vers la stationnarité. La vitesse de cette convergence dépend de la taille du trou spectral qui lui dépend du champ vectoriel décrivant le mouvement du liquide. Dans l’exposé nous allons discuter l’influence du flot sur la vitesse de convergence vers la stationnarité. "

Résumé : On commence par définir un procédé de détection de signal à l'aide de calcul de moyennes dans des variétés. Ensuite on considère une mesure de probabilité dont le support est inclus dans une boule géodésique régulière d'une variété. Pour tout p supérieur ou égal à 1 on construit une chaîne de Markov inhomogène qui converge presque sûrement vers la p-moyenne de cette mesure. La p-moyenne est le point qui minimise l'intégrale par rapport à la mesure de la distance à la puissance p. Si on suppose de plus que la fonctionnelle à minimiser est régulière autour de la p-moyenne, on prouve qu'une renormalisation naturelle de la chaîne de Markov converge en loi vers un processus de diffusion inhomogène. On donne une expression explicite de ce processus, et aussi ses caractéristiques locales.

Résumé : Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats concernant l’inertie d’un processus stochastique auto-stabilisant. Cette inertie est mise en évidence par le problème de sortie : temps nécessaire à la diffusion pour sortir d’un domaine borné. Cette étude est basée sur la description des équations de McKean-Vlasov, leur comportement asymptotique (grandes déviations) et la recherche de mesures invariantes.

Résumé: We consider in this paper a contamined regression model  where the  distribution of the contaminating component is known when  the Euclidean parameters of the regression model, the noise distribution, the  contamination ratio and the distribution of the design data are unknown. Our model is said to be semiparametric in the sense that  the probability density function (pdf) of the noise involved in the regression model is not supposed to belong to a parametric density family. When the pdfs' of the noise and the contaminating  phenomenon are supposed to be symmetric about zero, we propose an estimator of the various (Euclidean and functionnal) parameters  of the model, and prove their convergence. We prove in particular that, under mild conditions all satisfied in the Gaussian case,  the Euclidean part of the model is estimated at the rate $o_{a.s}(n^{-1/4+\alpha})$,  $\alpha>0$.

Résumé: Nous considérons le problème de sélection de variables dans le contexte des modèles à coefficients variables. Dans bien des situations pratiques, le modèle linéaire n'est pas adapté. Une façon d'enrichir ce modèle consiste à rendre variables les coefficients. Ces derniers sont alors considérés comme des fonctions. Nous proposons de donner pour chaque coefficient, une approximation dans une base de B-splines. On propose alors un critère type moindres carrés avec une pénalité de type groupe lasso. Cette pénalité permet de pénaliser par groupe de coefficients et force certains de ces groupes à être nuls (c'est-à-dire si un groupe n'est pas sélectionné, tous les coefficients de ce groupe sont nuls). Chacun de ces groupes est constitué des coefficients de l'approximation d'un coefficient variable dans la base de B-splines. Ainsi ce procédé permet de sélectionner ou pas les coefficients variables (puisqu'ils sont caractérisés par leurs coefficients dans la base de B-splines). On montre que l'on a la consistance en sélection de variables (propriété oraculaire) et que l'on estime les coefficients variables avec les vitesses optimales (du cas non paramétrique).

Résumé:   L'exposé se décomposera en trois parties. Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d'Itô et de Tanaka pour le mouvement brownien bifractionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l'existence de la densité d'occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire. Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons des estimateurs pour la dérive de mouvement brownien fractionnaire. Enfin, la dernière partie est dédiée au problème de l'étude des processus anticipés de type intégrale d'Itô-Skorohod. Ensuite nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.